1.4 ^* 二阶常系数线性微分方程

在自然科学及工程技术中，线性微分方程有着十分广泛的应用，在上一节我们讨论了一阶线性微分方程的解法.本节主要介绍二阶常系数线性微分方程的性质及其解法.

1.4.1 二阶常系数线性微分方程的概念

定义 1.7 形如

称为二阶线性微分方程.方程右端的 f （ x ）称为自由项.

当 f （ x ）≡0 时，式（1.1）为

称为二阶齐次线性微分方程.

当 f （ x ）≠0 时，式（1.1）称为二阶非齐次线性微分方程.

当系数 p （ x ）， q （ x ）分别为常数 p ， q 时，方程

称为二阶常系数线性微分方程。而方程

称为二阶常系数齐次线性微分方程.

1.4.2 二阶常系数线性微分方程解的结构

定理1.1 （二阶常系数齐次线性微分方程解的叠加原理）若 y ₁ （ x ）和 y ₂ （ x ）是二阶常系数齐次线性微分方程（1.4）的两个解，则 y = C ₁ y ₁ + C ₂ y ₂ （ C ₁ ， C ₂ 为任意常数）也是式（1.4）的解；且当 y ₁ 与 y ₂ 线性无关时， y = C ₁ y ₁ + C ₂ y ₂ 就是式（1.4）的通解，其中 C ₁ ， C ₂ 为任意常数.

证明 将 y = C ₁ y ₁ + C ₂ y ₂ 直接代入方程 y″ + py′ + qy = 0的左端，得

所以 y = C ₁ y ₁ + C ₂ y ₂ 是方程 y″ + py′ + qy = 0的解.

由于 y ₁ 与 y ₂ 线性无关，所以，任意常数 C ₁ ， C ₂ 是两个独立的任意常数，即解 y = C ₁ y ₁ + C ₂ y ₂ 就是方程的通解.

注 （1）线性相关与线性无关

设 y ₁ （ x ）， y ₂ （ x ）是定义在区间（ a ， b ）内的函数，若存在两个不全为零的数 k ₁ ， k ₂ ，使得对于区间（ a ， b ）内的任一 x ，恒有

成立，则称函数 y ₁ （ x ）， y ₂ （ x ）在区间（ a ， b ）内线性相关，否则称为线性无关.

显然，函数 y ₁ （ x ）， y ₂ （ x ）线性相关的充分必要条件是 在区间（ a ， b ）内恒为常数.

如果 不为常数，则 y ₁ （ x ）， y ₂ （ x ）在区间（ a ， b ）内线性无关.

（2）独立的任意常数

在表达式 y = C ₁ y ₁ （ x ）+ C ₂ y ₂ （ x ）（ C ₁ ， C ₂ 为任意常数）中 C ₁ ， C ₂ 为独立的任意常数的充分必要条件为 y ₁ （ x ）， y ₂ （ x ）线性无关.

定理1.2 （非齐次线性微分方程解的结构）如果函数 y p为二阶常系数非齐次线性微分方程 y″ + py′ + qy = f （ x ）的一个特解， y c为对应二阶常系数齐次线性微分方程 y″ + py′ + qy = 0的通解，则 y = y _c + y p为该二阶常系数非齐次线性微分方程的通解.

1.4.3 二阶常系数齐次线性微分方程的解法

二阶齐次线性微分方程解的叠加原理说明，要求方程 y″ + py′ + qy = 0 的通解，只需求出它的两个线性无关的特解即可.由于齐次线性微分方程左端是未知函数的常数，未知函数的一阶导数的常数倍与二阶导数的代数和等于 0，适于方程的函数 y 必须与其一阶导数、二阶导数只能相差一个常数因子，可以猜想方程具有 y = e ^rx 形式的解.

把指数函数 y = e ^rx （ r 是常数），代入方程 y″ + py′ + qy = 0，则有

由于e ^rx ≠0，从而有

由此可见，只要 r 满足代数方程 r ² + pr + q = 0，函数 y = e ^rx 就是微分方程 y″ + py′ + qy = 0的解.此代数方程（1.5）叫作微分方程 y″ + py′ + qy = 0 的特征方程.特征方程（1.5）的根称为微分方程 y″ + py′ + qy = 0的特征根.

1）当 p ² -4 q > 0时，特征方程 r ² + pr + q = 0 有两个不相等的实根 r ₁ ， r ₂ ，即

与 均是微分方程的两个解，并且 不是常数.

因此，微分方程 y″ + py′ + qy = 0 的通解为 （ C ₁ ， C ₂ 为任意常数）.

2）当 p ² -4 q = 0 时，特征方程 r ² + pr + q = 0 有两个相等的实根 r ₁ ， r ₂ ，即

这时，微分方程 y″ + py′ + qy = 0 的一个解为 ，可以验证 也是方程的一个解，且 y ₁ 与 y ₂ 线性无关.

因此，微分方程 y″ + py′ + qy = 0 的通解为 （ C ₁ ， C ₂ 为任意常数）.

3）当 p ² -4 q < 0时，特征方程 r ² + pr + q = 0 有一对共轭复根 r ₁ ， r ₂ ，即

其中 .

可以验证 y ₁ = e ^αx cos βx ， y ₂ = e ^αx sin βx 是微分方程 y″ + py′ + qy = 0 的两个线性无关的解，因此微分方程 y″ + py′ + qy = 0 的通解为

例 1.28 求微分方程 y″ -2 y′ -3 y = 0 的通解.

解 该方程的特征方程为

其特征根为

故所求微分方程的通解为

例 1.29 求微分方程 y″ -4 y′ + 4 y = 0 的通解.

解 该方程的特征方程为

其特征根为

r ₁ = r ₂ = 2.

故所求微分方程的通解为

例 1.30 求微分方程 y″ + 4 y′ + 13 y = 0 的通解.

解 该方程的特征方程为

它有一对共轭复根

故所求微分方程的通解为

综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程 y″ + py′ + qy = 0 的通解的步骤如下：

第一步：写出微分方程 y″ + py′ + qy = 0 的特征方程 r ² + pr + q = 0；

第二步：求出特征方程 r ² + pr + q = 0 的两个根 r ₁ ， r ₂ ；

第三步：根据特征方程的两个根的不同情形，按表 1.1 写出微分方程的通解.

从以上例子可以看出，求二阶常系数齐次线性微分方程的通解，不必通过积分，只要用代数方法求出特征方程的特征根，就可求得方程的通解.

1.4.4 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

由二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构定理知，二阶常系数非齐次线性微分方程 ″y + py′ + qy = f （ x ）的通解是对应的齐次线性微分方程的通解与其自身的一个特解之和，而求二阶常系数齐次线性微分方程的通解问题已经解决，所以只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 y p的方法.

以下介绍当自由项 f （ x ）为某些特殊类型函数时的求特解方法.

（1） f （ x ）= e ^λx P _m （ x ） 型

由于右端函数 f （ x ）是指数函数e ^λx 与 m 次多项式 P _m （ x ）的乘积，而指数函数与多项式的乘积的导数仍是这类函数，因此推测：

方程 y″ + py′ + qy = f （ x ）的特解应为 y _p = e ^λx Q （ x ）（ Q （ x ）是某个次数待定的多项式），则

代入方程 y″ + py′ + qy = f （ x ），整理得

消去e ^λx ，得

上式右端是一个 m 次多项式，所以，左端也应是 m 次多项式，由于多项式每求一次导数，就要降低一次次数，故有下列 3 种情况：

①如果 λ ² + λp + q ≠0，即 λ 不是特征方程 r ² + pr + q = 0 的根.由于 P _m （ x ）是一个 m 次的多项式，欲使

的两端恒等，那么 Q （ x ）必为一个 m 次多项式，设为

其中 b ₀ ， b ₁ ，…， b _m-1 ， b m为 m + 1 个待定系数，将之代入恒等式

比较恒等式两端 x 的同次幂的系数，得到含有 m + 1 的未知数 b ₀ ， b ₁ ，…， b _m-1 ， b m的 m + 1 个线性方程组，从而求出 b ₀ ， b ₁ ，…， b _m-1 ， b _m ，得到特解

②如果 λ ² + λp + q = 0，但 2 λ + p ≠0 时，即 λ 是方程 y″ + py′ + qy = 0 的特征方程 r ² + pr + q = 0 的单根.那么

化为

上式两端恒等，那么 Q′ （ x ）必是一个 m 次多项式.因此，可设 Q （ x ）= xQ _m （ x ），并且用同样的方法来确定系数 b ₀ ， b ₁ ，…， b _m-1 ， b _m ，得到特解

③如果 λ ² + λp + q = 0 且 2 λ + p ≠0 时，即 λ 是方程 y″ + p （ x ） y′ + q （ x ） y = f （ x ）的特征方程 r ² + pr + q = 0 的二重根.那么

化为

上式两端恒等，那么 Q″ （ x ）必是一个 m 次多项式.因此，可设 Q （ x ）= x ² Q _m （ x ），并且用同样的方法来确定系数 b ₀ ， b ₁ ，…， b _m-1 ， b _m ，得到特解

综上所述，有结论：

如果 f （ x ）= e ^λx p _m （ x ），则方程 y″ + p （ x ） y′ + q （ x ） y = f （ x ）的特解形式为

其中 Q _m （ x ）是与 P _m （ x ）同次的多项式，而 k 的选取应满足条件

例 1.31 求微分方程 y″ -3 y′ + 2 y = x e ^{2 x} 的一个特解.

解 该方程对应的齐次方程的特征方程为 r ² -3 r + 2= 0，其特征根 r ₁ = 1， r ₂ = 2.因为 f （ x ）= x e ^{2 x} ， λ = 2 是单特征根， P _m （ x ）= x 是一次多项式，故设特解

则有

代入原方程，得

比较系数得

解 得 b ₀ = ， b ₁ = -1.

故原方程的一个特解为 .

例 1.32 求微分方程 2 y″ + y′ - y = 2e ^x 的通解.

解 该方程对应的齐次方程的特征方程为2 r ² + r -1= 0，其特征根为 r ₁ = -1， r ₂ = ，所以原方程对应的齐次方程的通解为 .

因为 f （ x ）= 2e ^x ， λ = 1 不是特征根， P _m （ x ）= 2 是零次多项式.

故设 y _p = A e ^x 为原方程的特解，则有

代入原方程，得 2 A = 2，即 A = 1.

所以原方程的一个特解为 y _p = e ^x .

故所求微分方程的通解为

（2） 型

这里 λ ， ω 是实数， P l（ x ）， P _n （ x ）分别是 x 的 l ， n 次多项式，并且允许其中一个为零.对于这种类型的方程，由于指数函数的各阶导数仍为指数函数，正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数，可以证明：非齐次方程的特解 y _p 具有如下形式

其中 R _m （ x ）， I _m （ x ）是两个 m 次多项式， m = max{ l ， n }，且

为处理问题方便，再介绍两个定理.

定理1.3 （非齐次线性微分方程解的分离）如果 y ₁ 是方程 y″ + py′ + qy = f ₁ （ x ）的解， y ₂ 是方程 y″ + py′ + qy = f ₂ （ x ）的解，则 y = y ₁ + y ₂ 是方程 y″ + py′ + qy = f ₁ （ x ）+ f ₂ （ x ）的解.

定理1.4 如果 y ₁ 是方程 y″ + py′ + qy = f ₁ （ x ）的解， y ₂ 是方程 y″ + py′ + qy = f ₂ （ x ）的解，则 y ₁ - y ₂ 是方程 y″ + py′ + qy = 0的解.

注 ①上述 4 个定理对于二阶非常系数的线性微分方程也是成立的.

②上述求常系数非齐次线性微分方程特解的方法称为待定系数法求特解，对于简单微分方程也可以利用观察法求特解或常数变异法求特解.

例 1.33 求方程 y″ + y = sin x 的通解.

解 该方程为二阶常系数非齐次线性方程，其对应的齐次方程为

特征方程为

特征根 r ₁ = i ， r ₂ = - i ，齐次方程的通解为 y _c = C ₁ cos x + C ₂ sin x.

由于方程 y″ + y = sin x = e ⁰ sin x ， α + iβ = i （其中 α = 0， β = 1）恰是特征单根，从而设特解为 代入原方程，可得 A = ，所以 B = 0， 是方程的一个特解.

故所求方程的通解为 .

例 1.34 一质量为 m 的质点由静止开始沉入液体，当下沉时，液体的反作用力与下沉速度成正比，求此质点的运动规律.

解 设质点的运动规律为 x = x （ t ），由题意及牛顿第二定律知：

问题就是求微分方程 ，在初始条件下的特解.

对应齐次方程的特征方程 有特征根 r ₁ = 0， 从而对应的齐次方程的通解为 .

又因 λ = 0是特征单根，可设一个特解 x _p = At ，代入原方程，即得 ，因此 是原微分方程的一特解，所以原微分方程的通解为

由初始条件可求得

因此所求质点的运动规律为

习题 1.4

1.求下列常系数齐次线性微分方程的通解.

（1） y″ -5 y′ + 6 y = 0；（2） y″ -2 y′ + y = 0；

（3）2 y″ + 2 y′ + 3 y = 0；（4） y ^（4） + 8 y′ = 0.

2.求下列常系数非齐次线性微分方程的通解.

（1） y″ -2 y′ -3 y = x + 1；（2） y″ -4 y = 2e ^{2 x} ；

（3） y″ -4 y′ + 8 y = e ^{2 x} sin 2 x ；（4） y″ -2 y′ + 2 y = 4e ^x cos x.

3.求微分方程 y″ - y = 4 x e ^x 满足初始条件 的特解.

4.有一个底半径为 10 cm，质量分布均匀的圆柱形浮筒浮在水面上，它的轴与水面垂直，今沿轴的方向把浮筒轻轻地按下再放开，浮筒便开始作以 2 s为周期的上下振动（浮筒始终有一部分露在水面上），设水的密度 ρ = 10 ³ kg/m ³ ，试求浮筒的质量. HS7yzCYv/usLVyxWYp2ZLIw6kNIxWNbjWbzbwoGomCxhRs6wdR5gvf01j9M3Oirn