高等工科数学最新章节_李波著

1.4 ^* 二阶常系数线性微分方程

在自然科学及工程技术中，线性微分方程有着十分广泛的应用，在上一节我们讨论了一阶线性微分方程的解法.本节主要介绍二阶常系数线性微分方程的性质及其解法.

1.4.1 二阶常系数线性微分方程的概念

定义 1.7 形如

称为二阶线性微分方程.方程右端的 f （ x ）称为自由项.

当 f （ x ）≡0 时，式（1.1）为

称为二阶齐次线性微分方程.

当 f （ x ）≠0 时，式（1.1）称为二阶非齐次线性微分方程.

当系数 p （ x ）， q （ x ）分别为常数 p ， q 时，方程

称为二阶常系数线性微分方程。而方程

称为二阶常系数齐次线性微分方程.

1.4.2 二阶常系数线性微分方程解的结构

定理1.1 （二阶常系数齐次线性微分方程解的叠加原理）若 y ₁ （ x ）和 y ₂ （ x ）是二阶常系数齐次线性微分方程（1.4）的两个解，则 y = C ₁ y ₁ + C ₂ y ₂ （ C ₁ ， C ₂ 为任意常数）也是式（1.4）的解；且当 y ₁ 与 y ₂ 线性无关时， y = C ₁ y ₁ + C ₂ y ₂ 就是式（1.4）的通解，其中 C ₁ ， C ₂ 为任意常数.

证明将 y = C ₁ y ₁ + C ₂ y ₂ 直接代入方程 y″ + py′ + qy = 0的左端，得

所以 y = C ₁ y ₁ + C ₂ y ₂ 是方程 y″ + py′ + qy = 0的解.

由于 y ₁ 与 y ₂ 线性无关，所以，任意常数 C ₁ ， C ₂ 是两个独立的任意常数，即解 y = C ₁ y ₁ + C ₂ y ₂ 就是方程的通解.

注（1）线性相关与线性无关

设 y ₁ （ x ）， y ₂ （ x ）是定义在区间（ a ， b ）内的函数，若存在两个不全为零的数 k ₁ ， k ₂ ，使得对于区间（ a ， b ）内的任一 x ，恒有

成立，则称函数 y ₁ （ x ）， y ₂ （ x ）在区间（ a ， b ）内线性相关，否则称为线性无关.

显然，函数 y ₁ （ x ）， y ₂ （ x ）线性相关的充分必要条件是在区间（ a ， b ）内恒为常数.

如果不为常数，则 y ₁ （ x ）， y ₂ （ x ）在区间（ a ， b ）内线性无关.

（2）独立的任意常数

在表达式 y = C ₁ y ₁ （ x ）+ C ₂ y ₂ （ x ）（ C ₁ ， C ₂ 为任意常数）中 C ₁ ， C ₂ 为独立的任意常数的充分必要条件为 y ₁ （ x ）， y ₂ （ x ）线性无关.

定理1.2 （非齐次线性微分方程解的结构）如果函数 y p为二阶常系数非齐次线性微分方程 y″ + py′ + qy = f （ x ）的一个特解， y c为对应二阶常系数齐次线性微分方程 y″ + py′ + qy = 0的通解，则 y = y _c + y p为该二阶常系数非齐次线性微分方程的通解.

1.4.3 二阶常系数齐次线性微分方程的解法

二阶齐次线性微分方程解的叠加原理说明，要求方程 y″ + py′ + qy = 0 的通解，只需求出它的两个线性无关的特解即可.由于齐次线性微分方程左端是未知函数的常数，未知函数的一阶导数的常数倍与二阶导数的代数和等于 0，适于方程的函数 y 必须与其一阶导数、二阶导数只能相差一个常数因子，可以猜想方程具有 y = e ^rx 形式的解.

把指数函数 y = e ^rx （ r 是常数），代入方程 y″ + py′ + qy = 0，则有

由于e ^rx ≠0，从而有

由此可见，只要 r 满足代数方程 r ² + pr + q = 0，函数 y = e ^rx 就是微分方程 y″ + py′ + qy = 0的解.此代数方程（1.5）叫作微分方程 y″ + py′ + qy = 0 的特征方程.特征方程（1.5）的根称为微分方程 y″ + py′ + qy = 0的特征根.

1）当 p ² -4 q > 0时，特征方程 r ² + pr + q = 0 有两个不相等的实根 r ₁ ， r ₂ ，即

与均是微分方程的两个解，并且不是常数.

因此，微分方程 y″ + py′ + qy = 0 的通解为（ C ₁ ， C ₂ 为任意常数）.

2）当 p ² -4 q = 0 时，特征方程 r ² + pr + q = 0 有两个相等的实根 r ₁ ， r ₂ ，即

这时，微分方程 y″ + py′ + qy = 0 的一个解为，可以验证也是方程的一个解，且 y ₁ 与 y ₂ 线性无关.

因此，微分方程 y″ + py′ + qy = 0 的通解为（ C ₁ ， C ₂ 为任意常数）.

3）当 p ² -4 q < 0时，特征方程 r ² + pr + q = 0 有一对共轭复根 r ₁ ， r ₂ ，即

其中 .

可以验证 y ₁ = e ^αx cos βx ， y ₂ = e ^αx sin βx 是微分方程 y″ + py′ + qy = 0 的两个线性无关的解，因此微分方程 y″ + py′ + qy = 0 的通解为

例 1.28 求微分方程 y″ -2 y′ -3 y = 0 的通解.

解该方程的特征方程为

其特征根为

故所求微分方程的通解为

例 1.29 求微分方程 y″ -4 y′ + 4 y = 0 的通解.

解该方程的特征方程为

其特征根为

r ₁ = r ₂ = 2.

故所求微分方程的通解为

例 1.30 求微分方程 y″ + 4 y′ + 13 y = 0 的通解.

解该方程的特征方程为

它有一对共轭复根

故所求微分方程的通解为

综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程 y″ + py′ + qy = 0 的通解的步骤如下：

第一步：写出微分方程 y″ + py′ + qy = 0 的特征方程 r ² + pr + q = 0；

第二步：求出特征方程 r ² + pr + q = 0 的两个根 r ₁ ， r ₂ ；

第三步：根据特征方程的两个根的不同情形，按表 1.1 写出微分方程的通解.

表 1.1

从以上例子可以看出，求二阶常系数齐次线性微分方程的通解，不必通过积分，只要用代数方法求出特征方程的特征根，就可求得方程的通解.

1.4.4 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

由二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构定理知，二阶常系数非齐次线性微分方程 ″y + py′ + qy = f （ x ）的通解是对应的齐次线性微分方程的通解与其自身的一个特解之和，而求二阶常系数齐次线性微分方程的通解问题已经解决，所以只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 y p的方法.

以下介绍当自由项 f （ x ）为某些特殊类型函数时的求特解方法.

（1） f （ x ）= e ^λx P _m （ x ）型

由于右端函数 f （ x ）是指数函数e ^λx 与 m 次多项式 P _m （ x ）的乘积，而指数函数与多项式的乘积的导数仍是这类函数，因此推测：

方程 y″ + py′ + qy = f （ x ）的特解应为 y _p = e ^λx Q （ x ）（ Q （ x ）是某个次数待定的多项式），则

代入方程 y″ + py′ + qy = f （ x ），整理得

消去e ^λx ，得

上式右端是一个 m 次多项式，所以，左端也应是 m 次多项式，由于多项式每求一次导数，就要降低一次次数，故有下列 3 种情况：

①如果 λ ² + λp + q ≠0，即 λ 不是特征方程 r ² + pr + q = 0 的根.由于 P _m （ x ）是一个 m 次的多项式，欲使

的两端恒等，那么 Q （ x ）必为一个 m 次多项式，设为

其中 b ₀ ， b ₁ ，…， b _m-1 ， b m为 m + 1 个待定系数，将之代入恒等式

比较恒等式两端 x 的同次幂的系数，得到含有 m + 1 的未知数 b ₀ ， b ₁ ，…， b _m-1 ， b m的 m + 1 个线性方程组，从而求出 b ₀ ， b ₁ ，…， b _m-1 ， b _m ，得到特解

②如果 λ ² + λp + q = 0，但 2 λ + p ≠0 时，即 λ 是方程 y″ + py′ + qy = 0 的特征方程 r ² + pr + q = 0 的单根.那么

化为

上式两端恒等，那么 Q′ （ x ）必是一个 m 次多项式.因此，可设 Q （ x ）= xQ _m （ x ），并且用同样的方法来确定系数 b ₀ ， b ₁ ，…， b _m-1 ， b _m ，得到特解

③如果 λ ² + λp + q = 0 且 2 λ + p ≠0 时，即 λ 是方程 y″ + p （ x ） y′ + q （ x ） y = f （ x ）的特征方程 r ² + pr + q = 0 的二重根.那么

化为

上式两端恒等，那么 Q″ （ x ）必是一个 m 次多项式.因此，可设 Q （ x ）= x ² Q _m （ x ），并且用同样的方法来确定系数 b ₀ ， b ₁ ，…， b _m-1 ， b _m ，得到特解

综上所述，有结论：

如果 f （ x ）= e ^λx p _m （ x ），则方程 y″ + p （ x ） y′ + q （ x ） y = f （ x ）的特解形式为

其中 Q _m （ x ）是与 P _m （ x ）同次的多项式，而 k 的选取应满足条件

例 1.31 求微分方程 y″ -3 y′ + 2 y = x e ^² ^x 的一个特解.

解该方程对应的齐次方程的特征方程为 r ² -3 r + 2= 0，其特征根 r ₁ = 1， r ₂ = 2.因为 f （ x ）= x e ^² ^x ， λ = 2 是单特征根， P _m （ x ）= x 是一次多项式，故设特解

则有

代入原方程，得

比较系数得

解得 b ₀ = ， b ₁ = -1.

故原方程的一个特解为 .

例 1.32 求微分方程 2 y″ + y′ - y = 2e ^x 的通解.

解该方程对应的齐次方程的特征方程为2 r ² + r -1= 0，其特征根为 r ₁ = -1， r ₂ = ，所以原方程对应的齐次方程的通解为 .

因为 f （ x ）= 2e ^x ， λ = 1 不是特征根， P _m （ x ）= 2 是零次多项式.

故设 y _p = A e ^x 为原方程的特解，则有

代入原方程，得 2 A = 2，即 A = 1.

所以原方程的一个特解为 y _p = e ^x .

故所求微分方程的通解为

（2）型

这里 λ ， ω 是实数， P l（ x ）， P _n （ x ）分别是 x 的 l ， n 次多项式，并且允许其中一个为零.对于这种类型的方程，由于指数函数的各阶导数仍为指数函数，正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数，可以证明：非齐次方程的特解 y _p 具有如下形式

其中 R _m （ x ）， I _m （ x ）是两个 m 次多项式， m = max{ l ， n }，且

为处理问题方便，再介绍两个定理.

定理1.3 （非齐次线性微分方程解的分离）如果 y ₁ 是方程 y″ + py′ + qy = f ₁ （ x ）的解， y ₂ 是方程 y″ + py′ + qy = f ₂ （ x ）的解，则 y = y ₁ + y ₂ 是方程 y″ + py′ + qy = f ₁ （ x ）+ f ₂ （ x ）的解.