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利用可分离变量法，可以求一些比较简单的微分方程解，而实际问题中的微分方程往往比较复杂.本节将介绍一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程，并给出相应的解法.
（1）一阶线性微分方程的概念
定义1.6
形如
+
P
（
x
）
y
=
Q
（
x
）的一阶微分方程叫作一阶线性微分方程，其中
P
（
x
），
Q
（
x
）都是
x
的连续函数.
当
Q
（
x
≡0则方程化为
+
P
（
x
）
y
= 0，称为一阶齐次线性微分方程；
当
Q
（
x
）≠0，则方程
+
P
（
x
）
y
=
Q
（
x
），称为一阶非齐次线性微分方程.
如微分方程：①
=3
xy
+2
x
；②
y′
=
xy
+
y
+ sin
x
；③
y
d
x
- tan
x
d
y
= 0；④
xy
d
x
-
=0 等都是一阶线性微分方程.
（2）一阶线性微分方程的解法
我们先讨论
+
P
（
x
）
y
=
Q
（
x
）所对应的齐次方程
+
P
（
x
）
y
= 0的通解问题.
分离变量，得
，
两边积分，得
，
因此，通解为
.
容易验证，无论
C
取什么值，
只能是
+
P
（
x
）
y
= 0的解，而不是非齐次线性方程
+
P
（
x
）
y
=
Q
（
x
）的解.如果我们假设方程
+
P
（
x
）
y
=
Q
（
x
）具有形如
的解，显然
C
一般不是常数而应是
x
的函数
C
（
x
），只要能求出这个函数
C
（
x
），即可求得方程
+
P
（
x
）
y
=
Q
（
x
）的解.
设方程
+
P
（
x
）
y
=
Q
（
x
）有通解
，则
代入方程
+
P
（
x
）
y
=
Q
（
x
），得
于是
故非齐次线性方程
+
P
（
x
）
y
=
Q
（
x
）的通解为
上述通过把对应的齐次线性方程通解中的任意常数 C 换为待定函数 C （ x ），然后求出非齐次线性方程通解的方法，称为常数变易法.
因此，一阶线性微分方程的解法有两种：
①利用常数变易法；
②利用公式
.
例
1.16 求微分方程
的通解.
解
解法一：用常数变易法.原方程对应的齐次方程为
-2
xy
=0，
分离变量，得
即
两边积分
得
故对应齐次线性微分方程的通解为 y = C e x 2 .
设原方程有通解 y = C （ x ）e x 2 ，代入原方程，得
即
所以
故原方程的通解为 y = e x 2 （sin x + C ）（ C 为任意常数）.
解 法二：这里 P （ x ）= -2 x ， Q （ x ）= e x 2 cos x 代入通解，得
故原方程有通解 y = e x 2 （sin x + C ）（ C 为任意常数）.
例
1.17求微分方程
y′
=
的通解.
解
解法一：用常数变易法.原方程可化为
= 1，为一阶线性微分方程，它所对应的齐次方程为
= 0，可求得其通解为
x
=
Cy.
设
x
=
C
（
y
），
y
为方程
= 1的通解，代入方程，化简得
从而有
即
故原方程的通解为
（
C
为任意常数）.
解
法二：原方程可化为
，
令
，则
即
两边积分
得
故原方程的通解为
（
C
为任意常数）.
例 1.18 求微分方程 2 y′ - y = e x 的通解.
解 它是一阶线性微分方程，用常数变易法.
原方程化为
，对应的齐次方程为
，可求其通解为
.
设
为原方程的通解，代入原方程得
，所以
故原方程的通解为
（
C
为任意常数）.
例 1.19 求微分方程（ y 2 -6 x ） y′ + 2 y = 0，满足初始条件 y （1）= 1 的特解.
解
方程可化为
，它不是一阶线性微分方程，但取倒数得
这是
x
关于
y
的一阶线性微分方程.此方程对应的齐次方程为
，其通解为
设方程
的通解为
，代入方程有
即
从而有
则原方程的通解为
.
由初始条件
x
= 1，
y
= 1，得
C
=
，于是求微分方程的特解为
.
例
1.20设
f
（
x
）是连续函数，且由
x
确定，求
f
（
x
）.
0
解
因为
f
（
x
）是连续函数，所以
可导，
也可导.对方程
两边求导得
即
-
xy
= -2
x
，它是一阶线性微分方程，其通解为
.
由等式
可得
f
（0）= 0，代入通解得
C
= -2，
所以
例 1.21 在一个含有电阻 R （单位：Ω），电感 L （单位：H）和电源 E （单位：V）的 RL 串联回路中，由回路定律得知电流满足微分方程
若在电路中有电源 3 sin 2 t V ，电阻 10Ω，电感 0.5 H和初始电流 6 A，求电路中任意时刻 t 的电流.
解 （1）建立微分方程
这里 E = 3 sin 2 t ， R = 10， L = 0.5，将其代入 RL 电路中，电流应满足微分方程，得
初始条件为 I | t = 0 = 6.
（2）求通解
该方程对应的齐次方程为
分离变量，得
两边积分，得
即
再将通解中任意常数
C
换成待定函数
C
（
t
），令
为非齐次方程的解，再将其代入原方程得
所以
由
得
前面，我们主要讨论了一阶线性微分方程的求解问题，对于二阶及二阶以上的微分方程（即高阶微分方程），我们可以通过适当的变量替换转化为低阶的微分方程来求解.
下面，我们仅就三类较简单的高阶微分方程的求解展开讨论.
（1） y （n） = f （ x ） 型的微分方程
微分方程 y （n） = f （ x ）的右端仅含有自变量 x ，只要把 y （n -1） 作为新的未知函数，那么，该方程就是新未知函数的一阶微分方程，对两边积分，就得到一个（ n -1）阶的微分方程
同理
依此类推，连续积分 n 次，就得到方程的含有 n 个任意常数的通解.
例 1.22 求微分方程 y″ = cos x 的通解.
解 对两边积分，得
再对两边积分，得
这就是所求微分方程的通解，其中 C 1 ， C 2 为任意常数.
例 1.23 求 y''' = e 2 x -cos x 的通解.
解 根据题意有
积分得
再积分得
故所求微分方程的通解为
y
=
+ sin
x
+
C
1
x
2
+
C
2
x
+
C
3
（
C
1
=
）.
（2） y″ = f （ x ， y′ ） 型的微分方程
微分方程 y″ = f （ x ， y′ ）的右端不显含有未知函数 y ，如果作变量替换 y′ = p ，则 y″ = p′ ，方程可化为 p′ = f （ x ， p ），这是一个关于变量 x ， p 的一阶微分方程，设其通解为 p = φ （ x ， C 1 ）.
由
，得到一个一阶微分方程
因此，方程的通解为
，其中
C
1
，
C
2
为任意常数.
例 1.24求微分方程 x 3 y″ + x 2 y′ = 1的通解.
解
方程中不显含未知函数
y
，令
y′
=
p
，则
，代入原方程得
即
这是关于未知函数 p （ x ）的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，有
从而有
所以
因此，原方程的通解为y=
+
C
1
ln|x|+
C
2
，其中
C
1
，
C
2
为任意常数.
例
1.25求微分方程（1 +
x
2
）
y″
= 2
xy′
满足初始条件
，
的特解.
解
设
y′
=
p
，则
y″
=
p′
，原方程可化为
.
分离变量，得
两边积分，得
所以
由条件 y′ | x = 0 = 3，得 C 1 = 3，
从而
再积分得
由条件
，得
C
2
= 1.
故所求微分方程的特解为 y = x 3 + 3 x + 1.
注 求高阶微分方程满足初始条件的特解时，对任意常数应尽可能及时定出来，这样处理会使运算大大简化，而不要求出通解后再逐一确定.
（3） y″ = f （ y ， y′ ） 型微分方程
微分方程
y″
=
f
（
y
，
y′
）的右端不显含自变量
x
，作变量替换
y′
=
p
（
y
），利用复合函数求导法则得
，方程可化为
，这是一个关于变量
y
，
p
的一阶微分方程.
设它的通解为 p = φ （ y ， C 1 ），从而有
分离变量
再积分
，就可得到原方程的通解.
例 1.26 求 yy″ -（ y′ ） 2 = 0 的通解.
解 所给方程是 y″ = f （ y ， y′ ）型的，设 y′ = p ，于是
原方程化为
当 p ≠0 时，分离变量，得
两边积分，得
即
再分离变量，得
两边积分，得
故所求方程的通解为
，其中
C
1
，
C
2
为任意常数.（
p
= 0，
y
=
C
也在上述通解中）.
例
1.27 求微分方程
y″
= 2
yy′
满足
，
的特解.
解
这是个不显含
x
的二阶微分方程，令
y′
=
p
（
y
），则
.
原方程化为
于是
两边积分得
由初始条件
，得
C
1
= 1，则
分离变量后两边积分，得
再由初始条件
，得
，
于是原微分方程的特解为
1 .求方程
的通解.
2.求方程 xy′ + y = cos x 的通解.
3.已知某曲线经过点（1，1），它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求该曲线方程.
4.设曲线上任一点 P （ x ， y ）的切线及该点到坐标原点 O 的连线 OP 与 y 轴围成的面积是常数 A ，求该曲线方程.
5.解下列微分方程.
（1） y''' = e x + sin x ；（2） y''' = 8 x.
6.求下列微分方程的通解.
（1）
；（2）
；
（3） xy″ + y′ = 0；（4） yy″ -（ y′ ） 2 - y′ = 0.
7.求微分方程 2（
y′
）
2
=
y″
（
y
-1）满足初始条件
的特解.