1.2 齐次微分方程

在实际问题中我们常见如下微分方程：

1.2.1 齐次微分方程的概念

（1） ；

（2） ；

（3）

（4）（ xy - y ² ）d x -（ x ² -2 xy ）d y = 0；

……

这些方程都具有 的特点.

定义1.5 如果一阶微分方程 d中的 f （ x ， y ）可写成 的函数，即

称此方程为齐次微分方程.

如（ xy - y ² ）d x -（ x ² -2 xy ）d y = 0 可变形为如下齐次微分方程

注 要判断方程 y′ = f （ x ， y ）是否为齐次微分方程，只需用 tx ， ty 分别替换 f （ x ， y ）中的 x ， y ，如果 f （ tx ， ty ）= f （ x ， y ），则该方程就是齐次微分方程.

例 1.10 判断方程 是否为齐次微分方程.

解 用 tx ， ty 分别替换 中的 x ， y 得

即 与原方程相同，所以方程 是齐次微分方程.

1.2.2 齐次微分方程的解法

齐次微分方程的一般形式为

引入变量替换 ，有

将它们代入齐次方程得

移项

分离变量，得

两边积分，得

求出积分后，再用 代替 u ，就得到所给齐次方程的通解.

例 1.11 求解方程 .

解 该方程可化为

这是齐次方程.令 ，则有 ，代入上述方程，方程化为

即

分离变量，得

两边积分，得

即

所以方程的通解为

例 1.12 求解方程 （ x > 0， y > 0）.

解 方程可化为

这是齐次方程.令 则 d代入上述方程，方程可化为

即

分离变量，得

两边积分，得

故原方程的通解为

另外， y = 0 也是原方程的解.

例 1.13 求解方程（ x -2 y ） y′ = 2 x - y.

解 方程可化为

这是齐次方程.令 ，则 ，代入上述方程，方程可化为

即

分离变量，得

两边积分，得

即

故原方程的通解为 x ² - xy + y ² = C ₂ .

由上例可知，解齐次方程实际上是通过变量替换的方法，将方程化为可分离变量方程，然后进行求解.变量替换法在解微分方程中有着特殊的作用.但困难之处是如何选择适宜的变量替换，一般来说，并无一定的规律可循，往往要根据所给定微分方程的特点而定.

例 1.14 求解方程 = x ₂ + 2 xy + y ² .

解 这个微分方程不是一阶齐次微分方程，令 u = x + y ，则 y = u - x ， .

从而原方程化为

分离变量，得

两边积分，得

即

故原方程的通解为 x + y = tan（ x + C ）.

例 1.15 解微分方程 （ y ≠0）.

解 方程变形为 ，令 ，得 ，

于是

变量分离，得

两边积分，得

即

于是 或 .

故原方程的通解为 或

注 当分子简单而分母复杂时，可将 x 看成 y 的函数，变形为 d的齐次方程来求解.

习题 1.2

1.求解下列方程.

（1） ；（2） ；

（3） x ² d y =（ xy + y ² ）d x ；（4） ；

（5） ；（6）

2.通过换元法解下列微分方程.

（1）（2 x + y -4）d x + d y = 0；（2） ；

（3） xy ′ + y = y （ln x + ln y ）；（4） = 1 - cos（ y - x ）.

3.设曲线 y = f （ x ）上任一点处的切线斜率为 + 2，且经过点（1，2），求该曲线方程.

4.设某曲线上任意一点的切线介于两坐标之间的部分恰为切点所平分，已知此曲线过点（2，3），求该曲线方程. jQi5e8rW36xV1ABlo/TZa2ZDEBXcWRiQrtVl6J1DOTwkG3Qr8n4KlAFQCFDTQqJ1