1.1 微分方程的概念与可分离变量的微分方程

1.1.1 微分方程

我们已经学过代数方程，它是含未知数的等式.在科学研究和现实生活中还常常碰到含有未知函数的导数或微分的关系式，例如：

1）一物体以一定的初速度垂直上抛，设此物体的运动只受重力的影响，因为物体运动的加速度是路程 s 对时间 t 的二阶导数，则其函数关系为

即

2）已知直角坐标系中的一条曲线上，其上任一点 P （ x ， y ）处的切线斜率等于该点的纵坐标的平方，即 y′ = y ² .

在实际问题中还可以列出很多这样的关系式，例如：

① y′ = 2 x ² ；

②（ y -2 xy ）d x + x ³ d y = 0；

③ y′ -2 x = 3 y ；

④ ；

⑤ y″ + 3 y′ + 4 y = 0.

下面给出微分方程的定义.

定义1.1 凡是含有未知函数的导数（或微分）的等式，称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.

本章只讨论常微分方程，简称微分方程.微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数，称为微分方程的阶.方程①、②、③为一阶微分方程，方程④、⑤为二阶微分方程.

一阶微分方程的一般形式为

n阶微分方程的一般形式为

其中， x 是自变量， y 是未知函数； F （ x ， y ， y′ ，…， y ^（n） ）是给定的函数，而且一定含有 y ^（n） .

1.1.2 微分方程的解

定义1.2 代入微分方程后，使其成为恒等式的函数，称为该微分方程的解.

不难验证，函数 y = x ² + 1， y = x ² + 2， y = x ² + 6 及 y = x ² + C 都是 y′ = 2 x 的解.

若微分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称此解为该微分方程的通解（或一般解）.确定微分方程通解中的任意常数的值的条件称为初始条件.通解中的任意常数被确定而得到的解，称为方程的特解.

例如， y = x ² + C 是 y′ = 2 x 的通解 . y = x + 1， y = x ² - 都是 y′ = 2 x 的特解.

定义1.3 求微分方程 y′ = f （ x ， y ）满足初始条件 特解的问题叫作一阶微分方程的初始问题.记作 ，求解某初值问题就是求方程的特解.

例 1.1 验证：函数 y = C ₁ e ^x + C ₂ x e ^x （ C ₁ ， C ₂ 是任意常数）是微分方程 y″ -2 y′ + y = 0 的通解.

解 对 y = C ₁ e ^x + C ₂ x e ^x 的两边求导数，得

将 y ， y′ 及 y″ 代入原方程的左边，有

即函数 y = C ₁ e ^x + C ₂ x e ^x （ C ₁ ， C ₂ 为任意常数）是微分方程 y″ -2 y′ + y = 0 的通解.

例 1.2 验证方程 的通解为 y = Cx ² （ C 为任意常数），并求满足初始条件 的特解.

解 由 y = Cx ² 得 y′ = 2 Cx ，

将 y 及 y′ 代入原方程的两边，左边有 y′ = 2 Cx ，而右边 ，所以函数 y = Cx ² （ C 为任意常数）为方程 的通解.

将初始条件 y | _{x = 1} = 2 代入通解，得 C = 2，故所求特解为 y = 2 x ² .

例 1.3 设曲线上的任一点 P （ x ， y ）处的切线斜率与切点的横坐标成反比，且曲线通过点（1，4），求该曲线的方程.

解 设所求曲线的方程为 y = y （ x ），根据题意，得 即

对等式两边积分

得

由已知曲线通过点（1，4），代入上式，得 C = 4.

所以，所求曲线方程为 y = k ln x + 4.

一般地，微分方程的特解的图形是一条曲线，该曲线叫作微分方程的积分曲线；通解是一族积分曲线；初始问题 是微分方程通过点（ x ₀ ， y ₀ ）的那条积分曲线.

1.1.3 可分离变量的微分方程

定义1.4 形如 的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程.

该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是 x 的函数，另一个仅是 y 的函数，即 f （ x ）， g （ y ）分别是变量 x ， y 的已知连续函数.

可分离变量的微分方程 的求解步骤为：

第一步，分离变量

第二步，两边积分

这里 ， 应分别理解为 的某个原函数， C 为任意常数，才能保证通解中所含任意常数只有一个.

因此，可分离变量的微分方程的解法就是先分离变量，然后两边积分.

例 1.4 求方程 的通解.

解 分离变量，得

两边积分

得

故方程的通解为

例 1.5 求方程 的通解.

解 分离变量，得

两边积分

得

所以

当 C ₁ 为任意常数时，±e ^{C ₁} 为任意非零常数，又因为 y = 0 也是微分方程的解，但已包含在通解中.

故方程的通解为

例 1.6 求方程dd yx = 2 xy ² 的通解.

解 分离变量，得

两边积分

得

故方程的通解为

注 y = 0 也是微分方程的解，但不是特解.这说明了微分方程的通解并不是微分方程的全部解.

例 1.7 求微分方程 xy d y + d x = y ² d x + y d y 满足条件 y _{x = 0} = 2的特解.

解 分离变量，得

两边积分

即

所以

记± e ^{2C ₁} = C ≠0，得方程的通解 y ² -1 = C （ x -1） ² .

可以验证 y = ±1 也是原方程的解，所以原方程的通解为 y ² -1= C （ x -1） ² ，其中 C 为任意常数.

代入初始条件 y | _{x = 0} = 2，得 C = 3，所以，所求特解为 y ² -1 = 3（ x -1） ² .

注 为了方便起见，以后在求解时遇到对数不再添加绝对值，也不对常数作细致的讨论.

例 1.8一物体的质量为 m ，初速度为 v ₀ ，在一个与初速度同向的恒力 F 作用下，在光滑

水平面上做直线运动，如图 1.2 所示，求该物体运动的位移时间函数.

解 设该物体运动的位移时间函数为 s = s （ t ），

根据牛顿第二定律，有

对上式两边积分，得

再两边积分，得

其中 C ₁ ， C ₂ 都是任意常数.

此外，未知函数还应满足条件，当 t = 0 时，

从而有

上式即为所求的位移时间函数.

例 1.9 设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔顶时（ t = 0）速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系（图 1.3）.

解 设降落伞下落速度为 v （ t ），在下落时，同时受到重力 P 与阻力 R 的作用，重力大小为 mg ，方向与 v 一致；阻力大小为 kv （ k 为比例系数），方向与 v 相反，从而伞所受外力为

根据牛顿第二运动定律 F = ma ，得到函数 v （ t ）应满足微分方程

该方程是可分离变量的，分离变量得

两边积分

即

所以

可得

其中， .

由初始条件 ，有 ，

故所求的函数为

习题 1.1

1.指出下列微分方程的阶数（其中， y 为未知量）.

（1） x d x + y ³ d y = 0；（2） = 2 xy ；

（3）4 d y = ；（4） y″ -9 y′ = 3 x ² + 1；

（5） xy″ -2 y′ = 8 x ² + cos x ；（6） y′y″ - x ² y = 1.

2.验证下列各函数是否为所给微分方程的通解.若是，求出相应的特解.

（1）3 y - xy′ = 0 y = Cx ³ （ y （1） = ）；

（2） y″ + y = e ^x y = C ₁ sin x + C ₂ cos x + （ y （0） = 2， ）.

3.用分离变量法求解下列微分方程.

（1） = -2 y （ y -2）；（2） y′ + y = 0；

（3）（1 + x ₂ ）d y +（1+ y ² ）d x = 0；（4） ；

（5） =（1 + x + x ² ） y ；（6）（e ^{x + y} - e ^x ）d x +（e ^x+y + e ^y ）d y = 0.

4.写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程.

（1）曲线在点（ x ， y ）处的切线斜率等于该点横坐标的 2 倍.

（2）曲线在点 P （ x ， y ）处的法线与 x 轴的交点为 Q ，且线段 PQ 被 y 轴平分. VZyDh8K+fdrv2r9V+xRr1d5YJpKHgbHP/tmSYLGwc9UaHdvzAAbx0DbGpNCkWvgR