2.1 空间解析几何简介

2.1.1 空间直角坐标系

（1）空间直角坐标系

为了确定平面上一点的位置，我们建立了平面直角坐标系.同样地，为了确定空间内任意一点的位置，就需要建立空间直角坐标系.

在空间任意取定一点 O ，以点 O 为原点，作 3 条相互垂直的数轴， x 轴， y 轴， z 轴，这样就构成了空间直角坐标系 Oxyz. 一般地， x 轴， y 轴放置在水平面上，那么 z 轴垂直于水平面，且 x 轴， y 轴， z 轴的正方向要符合右手法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，当右手 4 个手指从 x 轴正向以 角度转向 y 轴正向时，大拇指的方向就是 z 轴的正向（图 2.2）.3条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样确定的平面称为坐标面，由 x 轴和 y 轴所确定的坐标面称为 xOy 面，另两个由 y 轴和 z 轴， z 轴和 x 轴所确定的平面分别称为 yOz 面和 zOx 面.3 个坐标面把空间分为 8 个部分，每个部分为一个卦限.含 x 轴， y 轴， z 轴正向的卦限称为第Ⅰ卦限，然后逆着 z 轴正向看时，按逆时针顺序依次为Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，位于Ⅰ，卦限的下面的 4 个卦限，依次为Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限（图 2.3）.

建立了空间直角坐标系，就可以建立空间点与有序数组之间的对应关系.

设 M 为空间任意一点，过 M 作 3 个分别垂直于 x 轴， y 轴， z 轴于点 P ， Q ， R 的平面，这 3个点在其上的坐标分别为 x ， y ， z ，于是，空间一点 M 就唯一确定了一个有序数组（ x ， y ， z ）；反过来，对于某个有序数组（ x ， y ， z ），我们可以在 x 轴， y 轴， z 轴分别取点 P ， Q ， R ，使 OP = x ， OQ = y ， OR = z ，然后过 P ， Q ， R 3 点分别作垂直于 x 轴， y 轴， z 轴的平面，这 3 个平面交于一点 M ，则由一个有序数组（ x ， y ， z ）唯一地确定了一点 M. 于是，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点 M 和有序数组（ x ， y ， z ）之间的一一对应关系，有序数组（ x ， y ， z ）称为点 M 的坐标，记为 M （ x ， y ， z ）（图 2.4）.

（2）空间两点的距离

设 M ₁ （ x ₁ ， y ₁ ， z ₁ ）， M ₂ （ x ₂ ， y ₂ ， z ₂ ）为空间中的两个点，过 M ₁ ， M ₂ 各作 3 个分别垂直 3 条坐标轴的平面，这 6 个平面围成一个以 M ₁ M ₂ 为对角线的长方体，如图 2.5 所示由于△ M ₁ NM ₂ 为直角三角形，∠ M ₁ NM ₂ 为直角，所以 ，又因△ M ₁ PN 也是直角三 角形， ，所由以于

即

例 2.1 求证以 M ₁ （4，3，1）， M ₂ （7，1，2）， M ₃ （5，2，3）3 点为顶点的三角形是一个等腰三角形.

解 因为

所以

即△ M ₁ M ₂ M ₃ 为等腰三角形.

2.1.2 空间曲面与方程

在平面解析几何中，我们把平面曲线看成是平面上按照一定规律运动的点的轨迹.类似地，在空间解析几何中，我们把曲面看成是空间中按照一定规律运动的点的轨迹.空间中的点按照一定规律运动，它的坐标（ x ， y ， z ）就满足 x ， y ， z 的某个关系式，这个关系式就是曲面方程，记为 F （ x ， y ， z ）=0.

定义2.1 如果曲面 S 与三元方程 F （ x ， y ， z ）=0 有下列关系：

①曲面 S 上任意一点的坐标都满足方程 F （ x ， y ， z ）=0；

②不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程 F （ x ， y ， z ）=0.

那么，方程 F （ x ， y ， z ）=0 就叫作曲面 S 的方程，而曲面 S 就叫作方程 F （ x ， y ， z ）=0 的图形（图 2.6）.

例 2.2 建立球心在 M ₀ （ x ₀ ， y ₀ ， z ₀ ），半径为 R 的球面的方程.

解 设 M （ x ， y ， z ）是球面上的任一点，那么

即

或

特别地，如果球心在原点，那么球面方程为

例 2.3 设有点 A （1，2，3）和 B （2，-1，4），求线段 AB 的垂直平分面的方程.

解 由题意知，所求的平面就是与 A 和 B 等距离的点的轨迹.

设所求平面上的任意一点为 P （ x ， y ， z ），由于 AP = BP ，所以

即 2 x -6 y + 2 z -7 = 0 为所求平面方程.

例 2.4 直线 L 绕一条与 L 相交的直线旋转一周，所得的旋转曲面称为圆锥面，两直线的交点称为圆锥面的顶点，两直线的夹角 α （0< α < ）称为圆锥面的半顶角.求顶点在坐标原点 O ，旋转轴为 z 轴，半顶角为 α 的圆锥面的方程.

解 在 y O z 坐标面上，直线 L 的方程为 z = y cot α ，因为旋转轴为 z 轴，所以在直线方程中将 y 改成 ，便得到所求圆锥面的方程 .

2.1.3 利用Mathematica作曲面

我们可以用Mathematica方便地作出该方程所表示的曲面，其命令语法格式及其意义：

①命令语法格式：ContourPlot3D[f = = g，{x，a，b}，{y，c，d}，{z，e，f}].

意义：绘制方程 f （ x ， y ， z ）= g （ x ， y ， z ）在区域{（ x ， y ）| a ≤ x ≤ b ， c ≤ y ≤ d ， e ≤ z ≤ f }的图形.

②命令语法格式：RevolutionPlot3D[f，{x，x ₁ ，x ₂ }].

意义： x O z 平面上的曲线 z = f （ x ）绕 z 轴旋转一周形成的曲面.

③命令语法格式：RevolutionPlot3D[f，{x，x ₁ ，x ₂ }，RevolutionAxis→{a，b，c}]

意义： x O z 平面上的曲线 z = f （ x ）以起点在原点的向量{ a ， b ， c }为轴旋转.

例 2.5 绘制由方程 x ² + y ² + z ² = 1 所确定的图形.

解 In[1]：= ContourPlot3D[x^2 + y^2 + z^2 = = 1，{x，-1，1}，{y，-1，1}，{z，-1，1}]

Out[1]=

例 2.6 作正弦曲线 z = sin x， x ∈[0，2π]绕 z 轴旋转一周形成的曲面.

解 In[1]：= RevolutionPlot3D[sin[x]，{x，0，2π}

Out[1]=

例 2.7 作曲线 z = x ³ 绕起点在原点的向量{1，1，1}为轴旋转的曲面.

解 In[1]：= RevolutionPlot3D[x ³ ，{x，0，1}]，RevolutionAxis➝{1，1，1}]

Out[1]=

习题 2.1

1.求与 z 轴和点 A （1，3，-1）等距离的点的轨迹方程.

2.指出下列各点所在的卦限.

（1）（-1，-2，3）；（2）（3，-2，-1）；（3）（-1，3，-6）.

3.已知点 A （2，3，1）， B （2，0，-1）：

（1）求 OA 及 AB ；（2） A 点关于 xOy 平面对称点的坐标. XRjenPETErHguOHOITcLaBwU6tGX0Y8RnmVqZbwntgIjJ77B7mCsKCz4pNNDQ1NM