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（1）空间直角坐标系
为了确定平面上一点的位置，我们建立了平面直角坐标系.同样地，为了确定空间内任意一点的位置，就需要建立空间直角坐标系.
在空间任意取定一点
O
，以点
O
为原点，作 3 条相互垂直的数轴，
x
轴，
y
轴，
z
轴，这样就构成了空间直角坐标系
Oxyz.
一般地，
x
轴，
y
轴放置在水平面上，那么
z
轴垂直于水平面，且
x
轴，
y
轴，
z
轴的正方向要符合右手法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，当右手 4 个手指从
x
轴正向以
角度转向
y
轴正向时，大拇指的方向就是
z
轴的正向（图 2.2）.3条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样确定的平面称为坐标面，由
x
轴和
y
轴所确定的坐标面称为
xOy
面，另两个由
y
轴和
z
轴，
z
轴和
x
轴所确定的平面分别称为
yOz
面和
zOx
面.3 个坐标面把空间分为 8 个部分，每个部分为一个卦限.含
x
轴，
y
轴，
z
轴正向的卦限称为第Ⅰ卦限，然后逆着
z
轴正向看时，按逆时针顺序依次为Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，位于Ⅰ，卦限的下面的 4 个卦限，依次为Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限（图 2.3）.
图 2.2
图 2.3
建立了空间直角坐标系，就可以建立空间点与有序数组之间的对应关系.
设 M 为空间任意一点，过 M 作 3 个分别垂直于 x 轴， y 轴， z 轴于点 P ， Q ， R 的平面，这 3个点在其上的坐标分别为 x ， y ， z ，于是，空间一点 M 就唯一确定了一个有序数组（ x ， y ， z ）；反过来，对于某个有序数组（ x ， y ， z ），我们可以在 x 轴， y 轴， z 轴分别取点 P ， Q ， R ，使 OP = x ， OQ = y ， OR = z ，然后过 P ， Q ， R 3 点分别作垂直于 x 轴， y 轴， z 轴的平面，这 3 个平面交于一点 M ，则由一个有序数组（ x ， y ， z ）唯一地确定了一点 M. 于是，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点 M 和有序数组（ x ， y ， z ）之间的一一对应关系，有序数组（ x ， y ， z ）称为点 M 的坐标，记为 M （ x ， y ， z ）（图 2.4）.
图 2.4
图 2.5
（2）空间两点的距离
设
M
1
（
x
1
，
y
1
，
z
1
），
M
2
（
x
2
，
y
2
，
z
2
）为空间中的两个点，过
M
1
，
M
2
各作 3 个分别垂直 3 条坐标轴的平面，这 6 个平面围成一个以
M
1
M
2
为对角线的长方体，如图 2.5 所示由于△
M
1
NM
2
为直角三角形，∠
M
1
NM
2
为直角，所以
，又因△
M
1
PN
也是直角三
角形，
，所由以于
即
例 2.1 求证以 M 1 （4，3，1）， M 2 （7，1，2）， M 3 （5，2，3）3 点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 因为
所以
即△ M 1 M 2 M 3 为等腰三角形.
在平面解析几何中，我们把平面曲线看成是平面上按照一定规律运动的点的轨迹.类似地，在空间解析几何中，我们把曲面看成是空间中按照一定规律运动的点的轨迹.空间中的点按照一定规律运动，它的坐标（ x ， y ， z ）就满足 x ， y ， z 的某个关系式，这个关系式就是曲面方程，记为 F （ x ， y ， z ）=0.
定义2.1 如果曲面 S 与三元方程 F （ x ， y ， z ）=0 有下列关系：
①曲面 S 上任意一点的坐标都满足方程 F （ x ， y ， z ）=0；
②不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程 F （ x ， y ， z ）=0.
那么，方程 F （ x ， y ， z ）=0 就叫作曲面 S 的方程，而曲面 S 就叫作方程 F （ x ， y ， z ）=0 的图形（图 2.6）.
图 2.6
例 2.2 建立球心在 M 0 （ x 0 ， y 0 ， z 0 ），半径为 R 的球面的方程.
解 设 M （ x ， y ， z ）是球面上的任一点，那么
即
或
特别地，如果球心在原点，那么球面方程为
例 2.3 设有点 A （1，2，3）和 B （2，-1，4），求线段 AB 的垂直平分面的方程.
解 由题意知，所求的平面就是与 A 和 B 等距离的点的轨迹.
设所求平面上的任意一点为 P （ x ， y ， z ），由于 AP = BP ，所以
即 2 x -6 y + 2 z -7 = 0 为所求平面方程.
例
2.4 直线
L
绕一条与
L
相交的直线旋转一周，所得的旋转曲面称为圆锥面，两直线的交点称为圆锥面的顶点，两直线的夹角
α
（0<
α
<
）称为圆锥面的半顶角.求顶点在坐标原点
O
，旋转轴为
z
轴，半顶角为
α
的圆锥面的方程.
解
在
y
O
z
坐标面上，直线
L
的方程为
z
=
y
cot
α
，因为旋转轴为
z
轴，所以在直线方程中将
y
改成
，便得到所求圆锥面的方程
.
我们可以用Mathematica方便地作出该方程所表示的曲面，其命令语法格式及其意义：
①命令语法格式：ContourPlot3D[f = = g，{x，a，b}，{y，c，d}，{z，e，f}].
意义：绘制方程 f （ x ， y ， z ）= g （ x ， y ， z ）在区域{（ x ， y ）| a ≤ x ≤ b ， c ≤ y ≤ d ， e ≤ z ≤ f }的图形.
②命令语法格式：RevolutionPlot3D[f，{x，x 1 ，x 2 }].
意义： x O z 平面上的曲线 z = f （ x ）绕 z 轴旋转一周形成的曲面.
③命令语法格式：RevolutionPlot3D[f，{x，x 1 ，x 2 }，RevolutionAxis→{a，b，c}]
意义： x O z 平面上的曲线 z = f （ x ）以起点在原点的向量{ a ， b ， c }为轴旋转.
例 2.5 绘制由方程 x 2 + y 2 + z 2 = 1 所确定的图形.
解 In[1]：= ContourPlot3D[x^2 + y^2 + z^2 = = 1，{x，-1，1}，{y，-1，1}，{z，-1，1}]
Out[1]=
例 2.6 作正弦曲线 z = sin x， x ∈[0，2π]绕 z 轴旋转一周形成的曲面.
解 In[1]：= RevolutionPlot3D[sin[x]，{x，0，2π}
Out[1]=
例 2.7 作曲线 z = x 3 绕起点在原点的向量{1，1，1}为轴旋转的曲面.
解 In[1]：= RevolutionPlot3D[x 3 ，{x，0，1}]，RevolutionAxis➝{1，1，1}]
Out[1]=
1.求与 z 轴和点 A （1，3，-1）等距离的点的轨迹方程.
2.指出下列各点所在的卦限.
（1）（-1，-2，3）；（2）（3，-2，-1）；（3）（-1，3，-6）.
3.已知点 A （2，3，1）， B （2，0，-1）：
（1）求 OA 及 AB ；（2） A 点关于 xOy 平面对称点的坐标.