1.6 数学建模：交通管理中的黄灯问题

问题提出

在十字路口的交通管理中，亮红灯前，要亮一段时间黄灯，这是为了让那些正行驶在十字路口的人注意，告诉他们红灯即将亮起，假如你能够停住，应当马上刹车，以免闯红灯违反交通规则.这里我们不妨想一下：黄灯应当亮多久才比较合适？

问题分析

现在让我们来分析，在十字路口行驶的车辆中，交警主要考虑的是机动车辆，因为只要机动车辆能停住，那么非机动车辆自然也应能停住.驶近交叉路口的驾驶员在看到黄色信号灯后要立即做出决定：是停车还是通过路口.如果他决定停车，也就是说，在街道上存在着一条无形的线，如图 1.4 所示，从这条线到街口的距离与此街道的法定速度有关，法定速度越大，此距离也越大.当黄灯亮起时车子到路口的距离小于此距离时不能停车，否则会冲出路口；大于此距离时必须停车；等于此距离时可以停车也可以通过路口.对于那些已经过线而无法停住的车辆，黄灯又必须留下足够的时间使它们能顺利地通过路口.

建立模型

根据上述分析，我们确定了求解这一问题的步骤如下：

步骤 1：根据该街道的法定速度 v ₀ 求出停车线位置（即停车线到街口的距离）；

步骤 2：根据停车线位置及法定速度确定黄灯该亮多久.

模型求解

①停车线的确定.

要确定停车线位置应当考虑两点：a.驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间 t ₁ ，在这段时间里，驾驶员尚未刹车；b.驾驶员刹车后，车还需要继续行驶一段距离，我们把这段距离称为刹车距离.

驾驶员的反应时间（实际为平均反应时间） t ₁ 较易得到，可以根据经验或者统计数据求出，交通部门对驾驶员也有一个统一的要求.例如，不失一般性，我们可假设它为 1 s（反应时间的长短不影响计算方法）.

停车时，驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力，该力使汽车减速并最终停下.设汽车质量为 m ，刹车摩擦系数为 f ， x （ t ）为刹车后在 t 时刻内行驶的距离，根据刹车规律，可假设刹车制动力为 fmg. 由牛顿第二定律知，刹车过程中车辆应满足下列运动方程在式（1.6）两边同除以 m 并积分一次，并注意到当 t = 0时， ，得

刹车时间 t ² 可这样求得，当 t = t ² 时 ，故

将式（1.7）再积分一次，得

将 代入，即可求得停车距离为

据此可知，停车线到路口的距离应为

等式右端第一项为反应时间里驶过的路程，第二项为刹车距离.

②计算黄灯时间.

现在我们可以来确定黄灯究竟应亮多久，在黄灯转为红灯的这段时间里，应当能保证已经过线的车辆顺利地通过街口.记街道的宽度为 D ，平均车身长度为 l ，这些车辆应通过的路程最长可达到 L + D + l ，因而，为保证过线的车辆全部顺利通过，黄灯持续时间至少应为

综合练习 1

一、判断题

1.若 y ₁ ， y ₂ 是二阶齐次线性方程的解，则 C ₁ y ₁ + C ₂ y ₂ （ C ₁ ， C ₂ 为任意常数）是其通解.（）

2 . y''' + y″ - x = 0 的特征方程为 r ³ + r ² -1 = 0.（）

3.方程 y″ - y′ = sin x 的特解形式可设为 A cos x + B sin x （ A ， B 为待定系数）.（）

4 . y′ = y 的通解为 y = C e ^x （ C 为任意常数）.（）

5.所有的微分方程都必须利用积分才能求解.（）

二、选择题

6.微分方程 y″ + 2 y′ + y = 0 的通解为（）.

A. y = C ₁ cos x + C ₂ sin x B. y = C ₁ e ^x + C ₂ e ^2x

C. y =（ C ₁ + C ₂ x ）e- _x D. y = C ₁ e ^x + C ₂ e _-x

7 .微分方程 +2 y = 1 的通解为（）.

A. B.

C. D.

8.微分方程 y''' = sin x 的通解为（）.

A. B.

C. y = cos x + C ₁ D. y = 2 sin 2 x

9.某二阶常微分方程下列解中为其通解的是（）.

A . y = C sin x B . y = C ₁ sin x + C ₂ cos x

C . y = sin x + cos x D . y =（ C ₁ + C ₂ ）cos x

10.下列常微分方程中为线性方程的是（）.

A . y′ = e _x - _y B . y · y′ + y = sin x

C . x ² d x =（ y ² + 2 xy ）d y D . xy′ + y - e ^2x = 0

11.微分方程 y''' = x 的通解为（）.

A. B.

C. D.

12.微分方程 y″ -4 y = 0 的通解为（）.

A . y = C ₁ e ^2x + C ₂ e ^{- 2x} B . y =（ C ₁ + C ₂ x ）e ^2x

C . y = C ₁ + C ₂ e ^4x D . y = C ₁ cos 2 x + C ₂ sin 2 x

13.对于微分方程 y″ -2 y′ = x ² ，利用待定系数法求特解 y ^* 时，下列特解设法正确的是（）.

A . y ^* = ax ² + bx + c B . y ^* = x ² （ ax ² + bx + c ）

C . y ^* = x （ ax ² + bx ）　D . y ^* = x （ ax ² + bx + c ）

14.已知函数 y 满足微分方程 xy′ = y ln yx ，且 x = 1 时， y = e ² ，则当 x = -1 时， y =（）.

A. -1 　B. -2 　C. 1 　D. e ^{- 1}

15.求微分方程（ x + 1） y″ + y′ = ln（ x + 1）的通解时，可（）.

A.设 y′ = p ，则有 y″ = p′ B.设 y′ = p ，则有

C.设 y′ = p ，则有 D.设 y′ = p ，则有

16.函数 y = f （ x ）的图形上点（0，-2）处切线为 2 x -3 y = 6，则此函数可能为（）.

A . y = x ² -2 　B . y = 3 x ² + 2

C. 3 y -3 x ³ -2 x + 6 = 0 　D.

17.微分方程 y″ -4 y′ -5 y = e- _x + sin 5 x 的特解形式可设为（）.

A . y ^* = A e- _x + B sin 5 x B . y ^* = A e- _x + B sin 5 x + C cos 5 x

C . y ^* = Ax e- _x + B sin 5 x D . y ^* = Ax e- _x + B sin 5 x + C cos 5 x

三、填空题

18.设 f （ x ） = ，则 f （ x ）= ____________.

19.微分方程sec ² x tan y d x + sec ² y tan x d y = 0 的通解为_____________.

20.微分方程 y″ -2 y′ + 2 y = e ^x 的通解为_____________.

21 . y″ -5 y′ + 6 y = 7 满足 和 的特解为 _____________.

22.以 y = C ₁ e ^x + C ₂ x e ^x 为通解的微分方程是_____________.

四、解答题

23.求方程 y''' + y′ = 0 的通解.

24.求方程 y″ = 2sin x 的通解.

25.求方程（e ^x+y + e ^x ）d x +（e ^x+y - e ^y ）= 0 的通解.

26.求微分方程 y″ = x -2 y′ 的通解.

27.求方程 y″ + y = sin x ，在初始条件 下的特解.

28.已知连续函数 f （ x ）满足条件 ，求 f （ x ）.

29 .设 f （ x ）在 x > 0时有二阶连续导数，且 f （1）=2及 ，求 f （ x ）.

30.设二阶常系数线性微分方程 的一个特解为 试确定常数 α ， β ， γ ，并求出该方程的通解.

31.设 y ₁ = x e ^x + e ^2x ， y ₂ = x e ^x + e- _x ， y ₃ = x e ^x + e ^2x - e- _x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，求此微分方程.

32.设 f （ x ） = sin x + ⁰ _x f （ t ）d t ，其中 f （ t ）为连续函数，求 f （ x ）. 3Z1ho4f3yhNuTNoSYYpRSIq1YXcXVlAkSzlBHjYn4lVbV+0LmkfnXm1pGPltZQo6