4.1 图形变换的数学基础

4.1.1 矢量运算

矢量运算的一般法则为：矢量加法可用平行四边形法则，矢量减法则是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量等于加上那个矢量的负矢量。矢量与标量的乘积仍为矢量，同时矢量与矢量乘积则可分为标量积（点积）和矢量积（叉积）。

例：已知矢量， A =（ A _x , A _y , A _z ）， B =（ B _x , B _y , B _z ）

1.矢量和

两个矢量的和是其相应分量分别求和的结果，矢量 A + B=C =（ A _x + B _x , A _y + B _y , A _z + B _z ,），如图4-1所示。

2.矢量乘法

1）矢量的数乘： kA =（ kA _x , kA _y , kA _z ），其中， k 为常数。

2）标量积：一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。

公式： A · B = A _x · B _x + A _y · B _y + A _z · B _z 。

3）矢量积：两矢量叉积得到一新矢量，大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，如图4-2所示。

公式： A×B =| A |·| B |sin θ 。

4.1.2 矩阵运算

矩阵的基本运算包括加法、减法、乘法。设有 m×n 矩阵 A 和 B ：

1.矩阵加减法

矩阵加法为矩阵 A 的每个元素加上矩阵 B 中的对应元素，矩阵的减法等于矩阵 A 的每个元素减去矩阵 B 中的对应元素。

2.矩阵乘法

（1）矩阵的数乘

即 kA ，其中 k 为常数， A 为矩阵。矩阵的数乘即为矩阵中的每一个元素乘以 k 后形成一个新的矩阵。

（2）矩阵的相乘

设 A= （ a _ij ） _m×s , B= （ b _ij ） _s×n ，则 A 与 B 的乘积 C=AB ，其计算如下：

1）行数与（左矩阵） A 相同，列数与（右矩阵） B 相同，即 C= （ c _ij ） _m×n

2） C 的 i 行第 j 列的元素 c _ij 由 A 的第 i 行元素与 B 的第 j 列元素对应相乘，再取乘积之和。例：设 A 为2 × 3矩阵， B 为3 × 2矩阵。

4.1.3 齐次坐标

齐次坐标表示法就是由 n+ 1维向量表示一个 n 维向量。在齐次坐标系中， n 维空间的位置矢量用 n+ 1维矢量表示，即二维空间的位置矢量用三维矢量表示。一个二维位置矢量[ X Y ]用齐次坐标表示即为[ X Y H ]，其中的 H 为附加坐标，是一个不为零的参数。一个二维点的齐次坐标表示不是唯一的，如二维点[20 10]可以表示为[20 10 1]，[40 20 12]，[60 40 3]等无穷组齐次坐标。给出点的齐次表达式[ X Y H ]，就可求得其二维笛卡儿坐标，即 = [ x y 1]，这个过程称为归一化处理。在几何意义上，它相当于把发生在三维空间的变换限制在 H = 1的平面上，在该平面内给出点的齐次表达式[ X Y H ]，就可求得其二维笛卡儿坐标。引入齐次坐标的目的主要是合并矩阵运算中的乘法和加法，它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。

4.1.4 图形的基本要素及其表示方法

体是由若干面构成的，而面则由线组成，点的运动轨迹便是线。因此，构成图形的最基本要素是点。在解析几何中，点可以用向量表示。在二维空间中可用（ x , y ）表示平面上的一点，在三维空间里则用（ x , y , z ）表示空间点。既然构成图形的最基本要素是点，则可用点的集合（简称点集）来表示一个平面图形或三维图形，以矩阵的形式分别表示如下。

平面图形的矩阵表示： ，三维图形的矩阵表示：

这样便建立了平面图形和三维图形的数学模型。 J7Pq3TJmQl1COoaEyfN5TvaBO1G7aYIZIba3QJu+QLF6IJpFIlodPaN3TpcWsO1r