第2章
潮流计算的数学模型和基本解法

潮流计算是指在给定电力系统网络拓扑、元件参数和发电、负荷参量的条件下，计算有功功率、无功功率及电压在电力网中的分布。潮流计算是根据给定的电网结构、参数和发电机、负荷等元件的运行条件，确定电力系统各部分稳态运行状态参数的计算。通常给定的运行条件有系统中各电源和负荷点的功率、枢纽点电压、平衡点的电压和相位角。待求的运行状态参量包括电网各节点的电压幅值和相角，以及各支路的功率分布、网络的功率损耗等。

潮流计算是电力系统分析中最基本、最重要的计算，是电力系统运行、规划以及安全性、可靠性分析和优化的基础，也是各种电磁暂态和机电暂态分析的基础和出发点。其结果可用来作为电网其他工作的参考指标，故可看出其在电网中的地位。

2.1 潮流计算的数学模型及节点分类

2.1.1 潮流方程

在第1章中介绍的基于节点导纳矩阵的节点电压方程 YU = I ，是潮流计算的基础方程式。若 U 或 I 已知，则节点网络方程 YU = I 直接可解。

但是在工程中，通常 I 是未知的， U 也是未知的，已知的是节点功率 S 。实际计算中，需要迭代求解非线性的节点电压方程 。

对于具有 n 个独立节点的电力网络，将其节点电压方程 YU = I 展开，可得

式中， 为节点 i 注入电流； 为节点 j 电压。

对于节点 i ，设节点 i 注入功率为 ，则节点 i 注入电流 为

式中， 分别为 和 的共轭。

将式（2-2）代入式（2-1）中，可得潮流方程：

直角坐标系下的节点电压和导纳可写成 ， ， Y _ij = G _ij + B _ij ，代入式（2-3）中可得

如果节点电压用极坐标表示，即令 ， ，代入式（2-3）中可得

2.1.2 节点的分类

在具有 n 个节点的电力系统中，每个节点有4个运行变量（例如，对于节点 i 有 P _i 、 Q _i 、 U _i 和 θ _i ），因此系统共有4 n 个变量，对于式（2-3）所描述的潮流方程，共有2 n 个实数方程。需要给定2 n 个变量，另外2 n 个变量才可以求解。对不同节点，给定量也不同。这样，系统中的节点就因给定量的不同而分为3类。

（1） PQ 节点

已知节点注入的有功功率 P _i 和无功功率 Q _i ，待求量为 U _i 、 θ _i 。变电站由于没有发电设备，其发电量为零，故通常为 PQ 节点。在特定情况下，若一个发电厂在一段时间内输出的功率是固定的，则可将其视为 PQ 节点。因此，电力网络中大多数节点是 PQ 节点。

（2） PV 节点

已知节点注入的有功功率 P _i 和电压 U _i ，待求节点的无功功率 Q _i 和电压相角 θ _i 。一般选择具有一定无功储备的发电厂和配备可调无功设备的变电站作为 PV 节点。在电网中， PV 节点的数目是非常少的，甚至没有。

（3）平衡节点

平衡节点也就是潮流计算中选择的电压参考节点，待求有功功率 P _i 和无功功率 Q _i 。平衡节点对系统的功率起着平衡的作用，常选择具有较大调节余量的发电机节点作为平衡节点。平衡节点在系统中是必须存在的，但一般只有一个。在实际应用中，通常选择系统中的主调频发电厂作为平衡节点。

对于配电网的潮流计算，传统的配电网络中只有 Vθ 节点和 PQ 节点，通常情况下，变电站的出口母线视为 Vθ 节点，其他节点包括负荷节点和中间节点都视为 PQ 节点。而随着DG（分布式发电装置）接入配电网，系统中出现了新的节点类型，从DG接入配电网的方式看，DG在潮流计算中的模型可以分为4类： PQ 恒定、 PV 恒定、 PI 恒定和 P 恒定 Q = f （ V ）类型。由于DG种类的差异性，其处理方法也就不同。下面针对以上几种DG类型，结合前推回代法的要求来分析各种类型节点的处理方法。因此计算时需要先将新增的节点类型转换成算法可以处理的节点，再进行迭代。

1. PQ 节点的处理方法

在潮流计算中，对 PQ 型DG简化处理的方法是，可以把它看作负的负荷，当作 PQ 节点来处理。一般采用同步发电机且励磁系统为功率因数控制的内燃机、传统汽轮机等DG，可以将其简化处理成 PQ 节点。例如，对异步风力发电机节点，可以将其视为 PQ 节点，此类风力发电机的有功功率和无功功率均为定值。若DG既向电网输送有功功率又向电网输送无功功率，其视在功率为 。若异步风力发电机仅向电网输送有功功率，而需要从电网中吸收无功功率，则其视在功率为 。此类DG对节点的注入电流可以表示为

式中， 为DG接入节点的电压。

2. PV 节点的处理方法

传统的燃气轮机和内燃机作为DG一般都采用同步发电机，同步发电机可以视为 PV 节点。另外一些带有AVR装置的发电机，可以通过AVR的调整使电压幅值保持恒定，将其视为 PV 节点。一些通过电力电子装置接入电网的DG如燃料电池、微型燃气轮机、太阳能光伏电池以及部分风力发电机等，在使用逆变器的情况下，可以用输出限定的逆变器建模。所有通过电压控制逆变器并网的DG都可以视为 PV 节点。

对于所有的 PV 恒定的DG，有功功率和电压幅值是恒定值。 PV 型DG所接节点的电压与DG间存在着电压差，常用的无功初值的选定方法是初值为零或取上限和下限的平均值，也可以根据无功分摊原理来确定无功初值，公式如下：

式中， 为 PV 节点到根节点之间所有节点（包含根节点和 PV 节点）无功负荷的和的一半； 为所选 PV 节点到末节点无功负荷最大的支路上所有节点的无功功率之和。

由此得到的初始注入电流为

电流每次迭代的值需要进行修正，常用的迭代修正是根据DG的电压值与接入节点的电压值之差 计算出无功功率修正值（Δ Q _i ），在等效注入电流模型中，应用DG电压与节点电压差 直接计算出电流的修正值 。

一般情况下， PV 节点的电压幅值不等于事先设定的电压幅值，可以通过向节点注入电流的方法，使 PV 节点的电压幅值达到预先设定的值。设注入电流的方向为正方向。该 PV 节点处应满足：

式中，Δ U 为节点电压变化量； Z 为 PV 型DG的节点阻抗矩阵；Δ I 为节点注入电流变化量。

k 次迭代后 PV 型注入电流更新值为

由于 PV 节点在运行中，有功功率恒定，无功功率在上下限之间变化，所以每次迭代后要对节点无功进行界限判定。假设 k 次迭代计算结束后节点视在功率为

在进行界限判断后节点的最终等效电流为

式中， Q _{min. i} 、 Q _{max. i} 分别为接入节点 i 的 PV 型DG的无功下限、上限。

当 PV 节点发生无功越限时，将转化成无功为上限或者下限的 PQ 节点，在下次迭代时，若无功回到上下限范围内时，则会变回 PV 节点，继续迭代。

3. PI 节点的处理方法

微型燃气轮机、光伏发电系统等DG在一般情况下要通过逆变器接入电网。在使用逆变器与电网相连的情况下，DG可以用输出限定的逆变器来建模。逆变器可分为两种：电流控制逆变器和电压控制逆变器。由电流控制逆变器接入电网的DG可以视为 PI 节点。此类节点输出的有功功率 P 和电流的幅值 I 恒定，相应的无功功率可由恒定的电流幅值、有功功率和前次迭代得到的电压计算得出。

该类节点的无功功率 Q 可以通过以下公式计算得出：

式中， 为第 k 次迭代中DG的无功功率； 为第 k 次迭代得到的电压； 为DG的电流， ； P _i 为DG的有功功率。

通过式（2-13）计算出DG的无功功率，就可将 PI 节点转化为 PQ 节点进行计算， PI 节点的注入电流可以根据式（2-6）计算。

4. PQ （ V ） 节点的处理方法

对于当作 PQ （ V ）节点的DG，其有功功率 P 是恒定的，电压 U 不定，无功功率 Q 随着电压 U 变化。一般采用异步发电机的风力发电机组可以简化为 PQ （ V ）节点。采用异步发电机的风力发电机组，异步发电机没有电压调节能力，需要从电网中吸收一定的无功功率来建立磁场，其吸收的无功功率的大小与节点电压 U 和转差率 s 有关。为减少网络损耗（简称网损），需要对无功功率进行补偿，一般采取就地补偿的原则。通常在风电机组处安装并联电容器组，而电容器组输出的无功功率也与节点电压的幅值有关。对于此类节点一般进行如下处理：

计算过程中，每次迭代结束后都要对电压进行修正，然后依据修正后的值求出异步发电机要从电网吸收的无功功率。然而在实际工作中，为了达到风力发电机组工作的功率因数，需要投入并联电容器进行无功补偿。 PQ （ V ）节点向电网注入的无功功率就是并联电容器补偿的无功功率与异步发电机从电网吸收的无功功率的差值。所以第 k 次迭代时该节点的功率为

式中， P _i 为异步风力发电机发出的有功功率； 为第 k 次迭代时并联电容器补偿的无功功率； 为第 k 次迭代时异步风力发电机从电网吸收的无功功率。

由此可以将 PQ （ V ）节点转化成 PQ 节点，用于下一次迭代计算。

2.2 潮流方程的迭代解法

如2.1节中分析，实际潮流计算中，需要迭代求解非线性的节点网络方程。潮流方程的迭代解法有高斯-赛德尔法、牛顿-拉弗森法、 PQ 分解法等。牛顿-拉弗森法是求解非线性代数方程的有效方法，因此也被广泛用于求解潮流方程。下面介绍牛顿-拉弗森法的一般描述。

电力网络的节点电压方程用一般的形式表示如下：

式中， y ^sp 为节点注入功率给定值； x 为节点电压。

式（2-15）可以写为功率偏差的形式：

将 f （ x ）在 x ^（0） 处进行泰勒级数展开并略去二次及以上阶次各项，有

定义 为雅可比矩阵， J ₀ 为 J 在 x ^（0） 处的值，则有

用Δ x 修正 x ^（0） 就得到 x 的新值，用 k 表示迭代次数，有

对于潮流收敛的情况， x ^{（ k +1）} 比 x ^{（ k ）} 应更接近解点，收敛条件为

2.3 牛顿-拉弗森法潮流计算

2.3.1 直角坐标系下的牛顿-拉弗森法

在具有 n 个节点的电力系统中，选第 n 个节点为平衡节点，剩下的 n -1个节点中有 r 个 PV 节点， PQ 节点个数为 n-r -1。

待求量为不包括平衡节点的各节点电压的实部和虚部，所以共有2（ n -1）个，状态变量是 x ^T =[ e ^T f ^T ]=[ e ₁ e ₂ … e _{n -1} f ₁ f ₂ … f _{n -1} ] ^T 。对于 PQ 节点 i （ i =1,2,…, n-r -1），设节点 i 的有功和无功功率的给定值分别为 和 ，则节点注入功率的不平衡量为

对于 PV 节点 i （ i = n-r ， n-r +1，…， n -1），设节点 i 的有功功率和节点电压大小的给定值分别为 和 ，则节点注入功率的不平衡量为

对于式（2-21）、式（2-22）所示的方程，根据式（2-18）、式（2-19）建立修正方程式：

式中，雅可比矩阵 J 的各元素可以对式（2-21）、式（2-22）求偏导获得。当 i ≠ j 时

当 j = i 时，雅可比矩阵 J 的对角元素为

牛顿-拉弗森法潮流计算的流程图如图2-1所示。

2.3.2 极坐标系下的牛顿-拉弗森法

PV 节点的电压幅值已知，所以待求的状态变量是 x ^T =[ θ ^T U ^T ]=[ θ ₁ θ ₂ … θ _{n -1} U ₁ U ₂ … U _{n-r -1} ] ^T ，待求量共（2 n-r -2）个，则节点注入功率的不平衡量为

对于式（2-26）所示的方程，根据式（2-18）、式（2-19）建立修正方程式：

雅可比矩阵是（2 n-r -2）×（2 n-r -2）阶，雅可比矩阵各元素如下：

2.4 案例分析以及源程序

1.案例1

系统如图2-2所示，该系统具有4个独立节点，电压等级为220kV，网络各元件参数的标幺值为 Z ₁₂ =0.10+j0.40， y ₁₂₀ = y ₂₁₀ =j0.01528， Z ₁₃ =j0.3， k =1.1， Z ₁₄ =0.12+j0.50， y ₁₄₀ = y ₄₁₀ =j0.01920， Z ₂₄ =0.08+j0.40， y ₂₄₀ = y ₄₂₀ =j0.01413；系统中，节点1、2为 PQ 节点，节点3为 PV 节点，节点4为平衡节点。给定值为 ， ， 0.5， ， （规定精度为0.00001）。

图2-2中网络中的各个参数见表2-1，定义节点类型：1为 PQ 节点，2为 PV 节点，3为平衡节点；设电压的基准值为220kV，功率基准值为100MV·A，以下所有参数均用标幺值表示。

图2-2中变压器参数见表2-2。

变压器π型等效电路参数部分的编程如下：

图2-2中各条支路的参数见表2-3。

根据式（1-9）、式（1-10）、式（1-13），编写的程序形成关联矩阵 A 以及节点导纳矩阵 Y ，进而确定雅可比矩阵 J ，最后得到每个节点的电压及每条线路的功率和网损等，牛顿-拉弗森法潮流计算的流程如图2-1所示。其中根据关联矩阵生成网络的节点导纳矩阵和雅可比矩阵的部分MATLAB程序如下：

运行程序（详见程序1），发现一共迭代3次，各条线路上的功率见表2-4，网损见表2-5及节点电压变化情况见表2-6。

为了更直观地观察节点电压的变化情况，绘制出其曲线图，如图2-3和图2-4所示。

由图2-3和图2-4可见，每个节点的电压随着迭代次数的增加，都呈下降趋势，但是每次电压下降的幅度很小；网损也随着迭代次数的增加而逐渐减小。

若在节点2加入1个 PQ 型[DG的功率为（10+j10）MV·A]，同样设置精度为0.0001，运行MATLAB程序得到新的潮流计算结果见表2-7～表2-9。

为了更直观地观察电压和网损的变化情况，绘制出曲线图，如图2-5和图2-6所示。

从图2-5和图2-6可以看出，在系统中加入1个DG后，虽然支路1和支路3的网损略有增大，但线路的总网损有所减小，且每个节点的电压都较未加入DG时升高，从而影响整个电网的潮流分布。

若在节点2加入2个 PQ 型DG，节点3加入2个 PQ 型DG[每个DG的功率仍为（10+j10）MV·A]，同样设置精度为0.00001，运行MATLAB程序得到新的潮流计算结果见表2-10～表2-12。

为了更直观地观察电压和网损的变化情况，绘制出曲线图，如图2-7和图2-8所示。

根据图2-7可以发现，加入DG之后，只有节点3在迭代后电压有所降低，但是其余节点的电压都有提升（平衡节点除外）；从图2-8可以看出，加入DG之后，只有支路1的网损略有增大，其余支路的网损都有所减小。

分别将加入1个DG、加入4个DG后的节点电压的变化情况与未加入DG时的节点电压的变化情况进行对比，对比情况如图2-9所示。

针对案例1的潮流结果进行分析，该案例为一个4节点、4支路的系统，在不加入DG时，系统的潮流计算结果见表2-4和表2-6。而在节点2加入1个DG后，各个节点的电压都呈现上升趋势，变化情况如图2-5所示，线路的总网损也随之降低，迭代次数不变；在节点2加入2个DG，节点3加入2个DG后，虽然节点3的电压略微降低，但其余电压增加的幅度增大，故可得出结论：DG对潮流的影响主要有两方面。一方面，DG的出现会升高节点的电压且加入的DG越多，这种影响越明显，变化情况如图2-9所示；另一方面，DG的出现会减小线路的网损，从而使电网经济化。

2.案例2

某辐射型配电网的系统图如图2-10所示，图中含有14个节点，13条支路，1、2、3、4等为节点编号，b[1]、b[2]、b[3]、b[4]等为支路编号，电压基准值取12.66kV，功率基准值取10MV·A，其网络参数和支路参数分别见表2-13和表2-14。

运行MATLAB牛顿-拉弗森法潮流计算程序，潮流计算的节点电压和线路网损变化情况见表2-15和表2-16。

为了更直观地观察节点电压和网损的变化情况，绘制出变化曲线，如图2-11和图2-12所示。

现对此14节点的辐射型配电网分别接入不同类型、不同数量的DG，来观察DG对潮流计算中节点电压和网损的影响。

（1）接入不同数量的DG

1）若在节点2加入2个 PQ 型容量为（30+j30）MV·A的DG，再对潮流重新计算，电压的计算结果见表2-17，网损计算结果见表2-18。

2）若在节点2加入3个 PQ 型容量为（30+j30）MV·A的DG，再对潮流重新计算，电压的计算结果见表2-19，网损计算结果见表2-20。

对比接入2个 PQ 型DG、接入3个 PQ 型DG以及未接入DG的情况，如图2-13和图2-14所示。

观察图2-13和图2-14可以发现，加入的DG数量越多，除平衡节点外，节点电压升高的幅度越大，而网损无明显变化。

（2）接入不同类型的DG

1）在节点3处加入3个 PV 型DG，容量均为（30+j30）MV·A，修改对应的网络参数，重新运行程序，各个节点电压和线路网损见表2-21和表2-22。

2）在节点3处加入3个 PQ 型DG，容量均为（30+j30）MV·A，修改对应的网络参数，重新运行程序，各个节点电压和线路网损见表2-23和表2-24。

对比在节点3接入3个 PQ 型DG、在节点3接入3个 PV 型DG以及不接DG的情况，画出对比曲线图，如图2-15和图2-16所示。

观察图2-15和图2-16可以发现，电压的变化较大：加入 PV 型DG会使节点电压明显降低，而接入 PQ 型DG则能升高节点电压（平衡节点除外），这是因为有些DG可能会吸收无功而不适应电压调节，从而加重对电压水平的负面影响；对于网损，只有靠近首端的线路上的损耗有明显降低，其余线路无明显变化。

3.案例3

（1）案例3系统图

案例3为5节点系统，系统接线图及已知条件如图2-17所示。

（2）案例3部分程序

案例3潮流计算源程序详见程序2，下面介绍部分程序。

生成节点导纳矩阵中的自导纳和互导纳的程序如图2-18所示。

计算各条支路的首端功率 S _i 的程序如图2-19所示。

计算各条支路的末端功率 S _j 的程序如图2-20所示。

（3）案例3潮流计算结果

迭代次数为5次，各节点的实际电压标幺值 E 为（节点号从小到大排列）：

1.0500+0.0000i　1.0335-0.0774i　1.0260+0.3305i　0.8592-0.0718i　0.9746+0.3907i

各节点的电压大小 V 为（节点号从小到大排列）：

1.0500　1.0364　1.0779　0.8622　1.0500

各节点的电压相角 θ 为（节点号从小到大排列）：

0　-0.0747　0.3116　-0.0834　0.3812

各节点的功率 S 为（节点号从小到大排列）：

2.5794+2.2994i　-3.7000-1.3000i　-2.0000-1.0000i　-1.6000-0.8000i　5.0000+1.8131i

各条支路的首端功率 S _i ：

各条支路的末端功率 S _j ：

各支路的损耗DS：

各节点电压大小和相位角如图2-21所示，各支路功率如图2-22所示。

2.5 小结

在电网结构和相关参数给定的情况下，通过潮流计算可以确定稳态运行状态。本章介绍了潮流计算的数学模型和基本解法。根据给定量的不同，电力系统中节点分为 PQ 节点、 PV 节点和平衡节点。依据DG接入配网的方式，DG在潮流计算中的模型可以分为 PQ 恒定、 PV 恒定、 PI 恒定和 P 恒定 Q = f （ V ）类型。

潮流方程是一组非线性的代数方程组，可以在直角坐标系或极坐标系下建立。牛顿-拉弗森法是求解非线性代数方程的有效方法，广泛用于求解潮流方程。本章基于案例分析以及源程序，介绍了牛顿-拉弗森法潮流计算的应用。

习题

2.1 接入DG对潮流计算结果有何影响？

2.2 对于图2-2所示系统，平衡节点电压相角设定为0°不变，而电压幅值的给定值由1.05p.u.变为1.0p.u.，问潮流计算结果各节点的电压幅值和相角将发生怎样的变化？

2.3 对于图2-2所示系统，平衡节点电压幅值的给定值保持1.05p.u.不变，电压相角由原来的0°增加到5°，问潮流计算结果各节点的电压幅值和相角将发生怎样的变化？ KS334SlAW4YnKSkRXqJJPOUHLanGnC8N4L08kBdnhpI8fmKxHK+7Bkhi5TOs6D50