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人类的进化并非出于对计算的冲动。然而，在我们发明了数字和算术之后，我们逐渐对它们产生了依赖。数字促成治理、征税和贸易往来，人类得以生活在相互依存的大型社区里。最终，算术及其产物——分数、负数和零的概念——成为经济和政治成功背后的驱动力：那些鼓捣数字的能人决定了劳动者、国家甚至地球的未来。而这一切都始于从数字3到4的思维跳跃。
15世纪上半叶，美第奇银行是佛罗伦萨的宠儿，也是欧洲艳羡的对象。 [1] 它成功的秘诀很简单：其首席会计师乔瓦尼·本奇（Giovanni Benci）热爱记账、恪守规章。他每年都会对银行所有分行的账目进行审计，核查债务人的状况和拖欠还款的可能性。如果你管理银行的某个分行，而你的账目轧不平，本奇会传唤你并猛剋你。后来，到了1455年，本奇死了，一切都乱套了。
本奇的铁腕突然消失，美第奇银行的雇员们开始向储户许诺过于慷慨的回报，像现代银行保证任何投资都有10%的收益一样。为了按时给付这些承诺的利息，一种有毒的贷款政策应运而生。美第奇银行以高昂的利率放贷，欧洲急于要钱打仗的国王和贵族们愿意借款，却并不打算偿还债务。银行没有办法强制偿还，于是钱就打了水漂。与此同时，银行的合伙人们将目光投向偿债遥遥无期的贷款和表面光鲜亮丽的账簿，抽取虚无缥缈的浮盈供自己花用。他们肆意挥霍，耗尽了银行的现金。1478年，美第奇银行摇摇欲坠。银行创始人的曾孙洛伦佐·德·美第奇（Lorenzo de ’ Medici）本人资不抵债，于是搜刮公共资金，企图摆脱困境。佛罗伦萨的公众被激怒了，于1494年攻入美第奇家族的宫殿，放火烧毁了所有的银行记录。他们一个世纪以来对欧洲文化、政治和金融资本的控制化为乌有。
法国大革命时期，会计在历史上第二次展现了其改变世界的力量。我们可以从会计师雅克·内克尔（Jacques Necker）被免职追溯大革命的源头。他一直在努力修复法国破败的金融系统，减轻沉重的债务负担，在此过程中，他揭露了法国王室的挥霍放纵。最终，在内克尔的改革中，损失惨重的统治阶级不堪忍受他的干预。内克尔失去了财政大臣的职位，但获得了一批忠诚而危险的崇拜者。
历史学家弗朗索瓦·米涅（François Mignet）是这样描述引发革命的时刻的：性急易怒的卡米耶·德穆兰（Camille Desmoulins）拿着手枪站上桌子， [2] 年轻的反叛者喊道：“公民们！没有时间了！”德穆兰说，内克尔的解职是对每一个爱国的法国公民的侮辱和威胁。“这是我们唯一能做的——拿起武器！”在这声集结号中，人群冲上街头。他们肩上扛着被解职的会计的半身像。米涅告诉我们：“每一次危机都需要一个领袖，他的名字便是他政党的标杆；当国民议会与王室对抗时，这个领袖就是内克尔。”
内克尔的改革集中在很少被我们视为革命的事由上：他想平衡账目。内克尔指出，在英国议会公开的所有账目中可以看到，尽管英国为资助海外战争而大量借款，但财政状况仍然很健康。他决心在法国实现同样的透明度。内克尔说，平衡的账目为道德的、繁荣的、幸福的和强大的政府奠定基础。因此，他试图将法国政府庞杂的分类账简化为一个单一账户，而这个账户的账簿底稿将由他本人审计。当权者并不欢迎这个想法，但那些非当权者却对其青睐有加。因此，正如历史学家雅各布·索尔（Jacob Soll）所言：“法国大革命之所以揭开序幕，部分原因是各方对于政府可信度和财政数字的问责。” [3]
羡慕外国金融体系的不只有法国，美国经济的支柱——税收、美元和央行——主要就是效仿荷兰和英国的银行的运作方式。当时，美国没有银行，而且债台高筑。亚历山大·汉密尔顿
在1781年说过，银行是“为促进贸易而发明的最快乐的引擎”。
汉密尔顿认为，如果想摆脱英国统治、获得自由，必须理解和控制账目。他说：“只有通过建立有序的财政——恢复政府信用——而非打仗，我们才能最终实现目标。大不列颠之所以能够征战不休且战绩辉煌，主要归功于在此基础上建立起来的庞大的信用结构。她现在就靠这个来威胁我们的独立。”
作为第一任财政部部长，汉密尔顿落实了所有必要措施，帮助新生的美国摆脱破产的泥潭。到了1803年，汉密尔顿运筹帷幄，主导发行国债，筹集到足以向法国买下路易斯安那领地的款项，将美国的面积扩大了一倍。你可能喜欢音乐剧《汉密尔顿》，因为它是对美国开国元勋之一的颂扬，但经济史学家们喜欢它，因为它是对财政审慎的颂扬。数学家们则认为它证明了因为精通数字而拥有的力量。
我们不应该认为数学是理所当然存在的。现代人类（智人）已经存在了30万年左右，我们已经发现了至少10万年前的人工制品，但有关人类计数的可靠记载只能上溯到大约2万年前。在现称刚果民主共和国的伊尚戈（Ishango）地区发现的伊尚戈骨表面上，我们可以看到一系列长条刻痕，它们被分成三列，每列又被细分为几组。虽然我们不是十分确定，但可以假设单条刻痕代表“一”。两条刻痕代表“二”，嗯，你懂的。整体来看，这些刻痕像是计算月运周期用的计数系统。
伊尚戈骨出现的时间相对较晚，表明计数是一种晚成的技能，而非智力演进的必然结果。你的大脑与第一代智人的大脑大体相同。似乎我们人类这个物种从出现到现在大多数时间都懒得数数。
一旦人类通晓数字，优势就显而易见了。你可能根本不记得学过数数。在大多数的人类文化中，数数是一项非常重要的技能。在你有长期记忆之前，你就已经开始数数了。而且我敢打赌，你是扳着手指学会数数的。 [4]
我第一次正视扳手指数数的问题时（尴尬惊觉自己在超市里当众数当晚请了几位客人来吃饭不算），正在观看昆汀·塔伦蒂诺导演的生猛战争电影《无耻混蛋》。地下室酒吧里有一场戏，一个英国角色伪装成了德国人，他举起食指、中指和无名指，向酒保要了三个杯子，跟他同桌的德国军官立即看出这位酒友是个冒牌货。“你暴露了，上尉。”他说。
德国人用拇指表示“一”，所以他们会用拇指和食指及中指要三个杯子。 [5] 亚洲人的习惯不一样。我的朋友索纳莉在印度长大，会用指节计数。印度马哈拉施特拉邦商人的数法又和她不一样。 [6] 他们像德国人一样从拇指开始数，不过一数到五，他们就会举起另一只手的拇指——通常是右手——表示已经数到了一个“五”，然后左手拳头再次合拢，拇指伸出来表示“六”。
想象一下，你和马哈拉施特拉邦的商人做生意。一开始你可能会感到困惑，但不用多久，也不需要开口说话，你就会明白对方的要价是多少。多亏了有手指数数，你们可以在没有共同书面或口头语言的情况下进行商品贸易。只要双方都知道交易的币种是什么，数字从一上升到几百、几千的含义是什么，事儿就成了。
正因为如此，几乎对古代社会的所有成员来说，学习数字手势是教育的一个重要组成部分。哪怕最偏僻的社群也会跟语言不通的过往商人以货易货。阿里斯托芬在其公元前4世纪的著作中提到，用手指数数是古希腊和波斯的一种常见做法。罗马作家昆体良（Quintillian）谈到，一个律师不能熟练地用手势表达数字是一件很羞耻的事。阿兹特克人在画作里描绘了打数字手势的人。在中世纪的欧洲，用手指计数非常普遍，以至于卢卡·帕乔利
在他1494年写的广受赞誉的数学教科书《算术、几何、比及比例概要》（
Summa de Arithmetica
，
Geometrica
，
Proportiono e Proportionalita
）中收录了关于这种艺术的完整图解。即使到了18世纪，德国冒险家卡斯滕·尼布尔（Carsten Niebuhr）还不忘描述亚洲市集上的商人是怎样抓住对方手指和拇指，以各种组合方式进行秘密谈判的。为了保密，他们会在讨价还价时把手藏在宽大的袖子里，或在手腕上盖一大块布。
由于不同的文化有不同表示数字的手势，所以商科学生必须细致学习。诗人和教师创作了一些押韵的小诗和谚语来帮助他们。例如，古代阿拉伯世界有这么一个说法：“哈立德走的时候身上有90迪尔亨姆
，回来时只剩下三分之一。”听了这话，我们虽然一头雾水，但阿拉伯人表示90这个数字的时候，会把食指弯曲，紧紧地抵在拇指根部。90的三分之一是30，其手势是用食指的尖端抵住拇指的尖端，画出一个更大的圆圈。这句话暗示着哈立德不但被抢劫了，还惨遭鸡奸。估计你这辈子都不会忘记这些表示90和30的古老手势了。
数字手势之所以如此普遍，跟人类一旦意识到数字的价值就摇身变为数字大师有很大关系。在你生命的头5年里，通过游戏、实验和刺激，你的大脑发展出一种叫手指感的东西，或者叫“灵知”。这是一种区别对待和感知从零到九任一数字的能力。一段时间之后，你的大脑为你的手指创造了对应的内在表征。当你开始处理数字时，这个表征会被调用，助你一臂之力。 [7] 手指的好处在于它们是看得见、摸得着、动得了的。它们分为两组，每组五个单位，每个单位都可以进行不同的屈伸配置。如果你发明出一个工具，用来数清你面前的一组物体有“多少个”，它可能不如你的手指好用。
脑部扫描显示，我们大多数人在接受数学任务后，例如用一个数减去另一个数，大脑内部处理来自手指的输入的区域就会加速活动。如果涉及的数字很大，这些大脑回路的活动就会更加明显。有趣的是，如果你特别擅长减法，你大脑里与手指有关的回路就不会那么活跃，换句话说，它们就没怎么活动。但同样值得注意的是，如果你小时候大人不曾鼓励你在游戏中——特别是在唱“一、二、扣鞋扣”这样的数数歌曲时——动动手指，你可能永远不会真正“明白”数字。 [8] 数字在其他人大脑中呈现的方式就与你不同了，这就是有些人学数学很吃力的原因之一。
一旦你学会用手指表示数字，下一步似乎显而易见，那就是把它们写出来。然而，如果我们一开始就无须使用数字，那当然也不必把它们写出来。毕竟，贸易是实时进行的，双方面对面地讨价还价，货物立刻移交，服务旋即履约，没有必要对交易进行记录。那么，是什么推动我们发展出书面数字呢？把数字写下来之后，我们就可以对或有宗教意义的天体事件（例如新月或日食）进行预测了。我们还可以创建库存清单，罗列交易价格，并记下在未来某个时间点进行买卖的承诺。书写数字最初可能是一种宗教活动，但它也让我们的贸易上了一个台阶。无论其起源如何，它都直接促成了我们今天所享有的繁荣。
我们无从得知记录数字的第一人是谁。也许，在人类的数学旅程开始后很久，伊尚戈骨上的刻痕才出现。但有两件事我们可以肯定。第一，数字符号的形式多种多样，从骨头上的刻痕开始，到印加绳结、巴比伦泥板上的标记和埃及纸莎草纸上的墨迹，最终到20世纪微芯片内的电压。第二，这种新的记账能力是革命性的。你可能认为会计工作烦琐无趣，如果有他人代劳则再好不过，但它的发明使人类文化的轴线产生了位移。
我们最古老的商业会计证据在大约4000年前。当时的美索不达米亚商人开始记录羊群买卖协议。每项协议用一个黏土球表示，这些球被封存在一个空心球体里，球体表面标有黏土球的数量，然后空心球体被送去烘烤，这样协议就不会被篡改了。这是一种防止记错协议（无论有意还是无意）的保险机制。
这套体系演变成一种更简单的记录：在泥板表面烤制出标记。这样一来，人们可以很容易地看到已经达成了什么协议、买了什么、卖了什么、价格几何。而彼时，人类已经开始认识到，操纵数字能带来的不仅仅是交易，它还可以带来权力。
公元前2074年，乌尔国王舒尔吉在现伊朗西南部地区建立的统治被学者们誉为“第一个数学国家”。 [9] 舒尔吉首先进行了军事改革，随后又进行了行政改革。这要求乌尔的书记官们为王国中的一切建立复杂的账目。乌尔劳动人口的监工们记录下了工作时长、疾病、缺勤及被借出和借用奴隶的产出。他们如果不能证明每个月从每个劳工那里都压榨出了30天的劳动产出（无论这个月有几天），就必须赔偿缺额给国家。如果监工书记官在去世前未能补足亏空，债务就会转嫁给他的家人。舒尔吉国王的会计体系是围绕一个惊人的原则设计的：它应当尽可能帮当权者识破人们欺骗国家的企图。事实证明，审计是文明的真正摇篮。
如果乌尔是第一个数学国家，那舒尔吉就是第一个数学之神。他于在位的第23年宣布自己是神。从那时起，他的臣民们得到指示，必须崇拜他并且赞美他的品质——尤其是他的数字造诣。这有存世的舒尔吉赞美诗为证。显然，他的神性之一是在“板屋”中接受了全面的数学训练，学会了加法、减法、计数和会计。
因为舒尔吉统治把数学放在中心位置，所以在一代人的时间里，数学成了该国最高的艺术，也是培养书记官的要件之一。到了公元前2000年之交，一个完全合格的书记官必须能用苏美尔语和巴比伦语读写，还要深谙音乐和数学。这里所说的数学不是会计师之间的实用主义数字争论，而是操纵数字进行极其艰深的且表面上无用的计算。实质上就是解谜，例如“我把一个圆的周长、直径和面积加在一起，结果是115”，而书记官的任务是求解这个圆的半径。 [10] 这是为了数学而数学，被当作“美德”之一。在受过教育的书记官当中，只有数学能力超群者才能自视为“ nam-lú-ulu ”（苏美尔语“成人、做人”的意思）的大家。换句话说，数学教育首次在人文科学课程中有了一席之地。
无怪乎在我们发现的数以万计的古代泥板上，账目并非唯一的内容。有许多泥板供数学运算使用：乘法表、除法辅助工具、数字平方（一个数字乘以其本身的积）表和逆向运算得出的平方根表。我们发现，泥板记录了有关于如何处理分数和代数的内容，还有诸如π的近似值和2的平方根等几何工具。我们将在后续的章节中讨论这些工具和方法的重要性，目前只需记住，当我们所说的文明萌芽时，数字是社会的核心。
可靠的数字带来了非凡的权力。舒尔吉王国的影响力空前，至少这部分归功于国王对数学效用的了悟。他完成了他父亲未竟的工程——修建乌尔塔庙，修建一个大规模的道路网，他的帝国不断扩张对外贸易，同阿拉伯和印度的社群往来频繁。所有这些成就不是因为他发明了某种数学，而是因为他出于政治目的把数学付诸实践了。同样的一幕很快也在其他地方上演。
我们或许过分迷恋巴比伦人和苏美尔人的数学智慧了，只因他们在泥板上记录日常生活，为我们留下了一系列唾手可得的人工制品。在这本书讲述的数学如何同文明交织的故事中，沿袭口述传统的社会的露面机会不多。试以西非的阿坎人（Akan）为例，在前殖民时代，他们运用一套繁复的数学体系来称量贸易中使用的黄金。该体系分为两部分：一部分与阿拉伯和葡萄牙的度量衡系统配合使用；另一部分则与荷兰和英国的度量衡对应。最终，研究人员从世界各地博物馆收藏的文物中拼凑出了它的工作原理，认为它的复杂程度令人叹为观止，应当纳入联合国教科文组织世界遗产名录。 [11]
难怪贩奴船船长称讨价还价的非洲奴隶贩子为“精明的算术家”。 [12] 据记载，“某个奴隶贩子手上可能有十个奴隶待售，每一个奴隶都可以用十样不同的东西来交换。取决于他居住在那个国家的哪个地区、该地区通行的交换媒介是什么，他一眨眼就能心算出每个奴隶值多少金条、铜币，并且立即结账”。这种口口相传的计算体系让人更为惊奇，但这也意味着奴隶贸易使人们大幅减少了对这类计算体系的使用。我们无法估算，有多少数学高手被运往欧洲、加勒比海和美洲，从此才华埋没。因此，非洲丰富的数学传统从来没有得到过应得的赞赏——也许古埃及除外，数学在那里蓬勃发展。
就书名而言，《认识所有黑暗事物的方法》（ Directions for Knowing All Dark Things ）引人入胜，听起来像一本你可能在某家神秘主义书店潮湿的地下室里偶然发现的书，一本指点不怀好意者召唤精灵的入门读物。其实不然，它是一本古埃及的数学教科书。
在西方，它更为人知的名称是《莱因德纸草书》（
Rhind Papyrus
），莱因德为1858年前后在底比斯购得该书的苏格兰律师的姓氏。该书大部分（整个文件有18英尺
长）收藏在伦敦的大英博物馆，另一部分由纽约历史学会持有。其全部内容由一个名叫阿摩司（Ahmos）的埃及书记官于约3500年前抄写。阿摩司（他的名字的意思是“月生”）抄写的母本是一个概述古埃及祭司阶层数学技巧的千年文本。
古埃及王国的运作依赖对尼罗河洪情年复一年的计算。工程师们会查看水深测量仪上的读数并报告水位的上升情况。精通天文的祭司们会编制历法，以便国民能够为天狼星偕日升的那一天做好准备——那天早晨，天狼星相对地球的位置离太阳足够远，可以避开太阳的强光，重现天空。这一天是运河疏浚和堤坝修复的最后期限。
通过计算，埃及人可以不出差池地将泛滥的尼罗河水引入运河、流向农田，让肥沃的淤泥沉积在土壤表面。一旦河水渗入土地，或者被重新导流回尼罗河水体，新一季的耕作就可以开始了——也就是说，耕地已经分割成形了。
因为汹涌的洪水冲走了所有的边界和标记，所以书记官们必须记录好每家每户在前一年耕种了多少土地。然后，行政人员通过现在看来相当基本的算术，将差不多大小的新施过肥的农田分配给他们。对古埃及人来说，这可能相当基本，但它显然很受重视，以至于书记官们反复抄写描述这一过程的文档，文档都褪色了。
实质上，《莱因德纸草书》的大部分篇幅都在介绍分数。你可能会惊讶地得知，分数并不是为了折磨小学生才发明出来的。分数是经济运行的重要组成部分：对一个需要知道圆柱形仓库里有多少粮食，政府应当怎样分配土地、粮食和工资的文明来说，整数（我们迄今为止所讨论的数字）不够用。
我们的大脑通过整数（或称自然数）将环境中的物体与“一”“二”等抽象概念相匹配，并在我们需要摆布这些数量时将其映射到我们的手指上（如果运气好的话，这些手指在我们的大脑里会有虚拟表征）。分数则不同，它们是一种通过比较两个整数来划分整数的手段，而且它们很难搞懂：对一个没有进化到可以想象这种事情的大脑来说，将整数化为分数是可怕的天堑。
如果你当年上学时觉得分数很难，跟你有同感的人很多，莱奥纳尔多·达·芬奇就是其中之一。尽管他在艺术、发明和天文学方面取得了巨大的成就，但他对分数却无可奈何。
[13]
从他的笔记本上可以看出来，他做乘除不大灵光。例如，他无法相信，用小于1的分数（如2/3）除某数会使该数变大。
达·芬奇如果上今天的学校肯定苦不堪言。根据美国学校课程设置，学生在12岁或13岁时应当掌握分数，并且应当能够将诸如1/2、5/9和2/7的分数按大小升序排列。你会吗？大多数12岁和13岁的孩子都不会。
再举一个例子，1、2、19或21中，哪一个数最接近12/13和7/8的和？在美国，12岁和13岁的学生中有四分之三都答错了。
最常见的错误是将分子和分母（分数线上面和下面的数字）分别相加——换句话说，把它们当作自然数。这并不奇怪，直到学分数之前，老师一直在训练你这么做。此时，你应该换个思路。你必须估算（12/13和7/8都接近于1，所以它们的总和将接近于2）或者通分，使分数的分母相同，然后将调整后的分子相加。仔细想一想，你会意识到分数很残酷。我们在前文已经读到，人类学会应对自然数是一个来之不易的胜利，等到分数出现，你却必须推倒重来。
尽管我们觉得分数很棘手，但一个接一个文明都意识到了它的价值。巴比伦人在公元前2000年左右最先领悟，随后是埃及人、印度人、希腊人和中国人。这意味着如果我没有算错的话，一个已经存在了30万年的物种只在其存世的最近百分之一（非常粗略的估算）的时间里运用了分数。如果你还不信，这证明了即使最基本的数学能力也不是人类信手拈来，生来就会的。
会计对我们所知的文明至关重要。在它诞生之前，还有两项数学创新必不可少：负数和零的概念。尽管这两个概念如今无处不在，但当年它们都引起过很大争议，历经几百年的时间才获得现在的地位。
想到人类在做了几千年的减法之后才有人答得上来“1减去2等于什么？”，真是令人吃惊。可这还得怪我们的大脑。我们根本无法想象“负一个苹果”，所以我们不可能对负数天生有感。负数又是一个巨大的思维飞跃，一个从无到有构想出来的概念。然而，就像分数一样，它们太有用了，不发明出来不行啊。
负数在历史上留下的踪迹凌乱不堪。在公元前300年左右古印度教师考底利耶（Kautilya）编写的《政事论》（ Arthasastra ）中，我们可以看到，印度的会计学已经相当成熟，具备资产、债务、收入、支出和收益等概念，而且有一些证据表明，印度的会计人员可能当时已经用负数来表示债务。在《九章算术》中，中国数学家进行了负数计算。我们不确定它的成书时间（公元前200年和公元50年之间的可能性最大），但它用红色算筹代表正数、黑色算筹代表负数。然而，作者虽然进行了负数计算，却不认可解方程等运算结果出现负数。负数似乎是一种纯粹的实用工具，仅作贸易和商业用途。
公元628年，印度数学家婆罗门笈多（Brahmagupta）也提议用负数来表示债务。他甚至还拟定了正数（财富）和负数（债务）乘（积）除（商）运算的法则：
两笔财富相乘除，其积或商为一笔财富。
两笔债务相乘除，其积或商为一笔财富。
一笔债务和一笔财富相乘除，其积或商为一笔债务。
一笔财富和一笔债务相乘除，其积或商为一笔债务。
如果翻译成现代语言，他的意思是：
两个正数的乘积或商为正数。
两个负数的乘积或商为正数。
负数乘以或除以正数，其积或商为负数。
正数乘以或除以负数，其积或商为负数。
你可能知道类似的法则，如“负负得正”“正正得正”“正负得负”等。
显然，彼时的印度会计已经习惯负数了。然而，西方世界的进度要慢上许多。症结在于，西方的数学传统来自古希腊人，而古希腊人痴迷整数。他们可以把两个整数化成一个分数，但无论这个分数有多小，它从来不会是个负数。
西方人对负数的初次探讨出现在1202年出版的《计算之书》（ Liber Abaci ）里。该书作者为斐波那契（Fibonacci），你可能听过这个名字，这不是他的真名，而是6个世纪后的一位传记作家编造的。不过，“比萨的列奥那多”（Leonardo de Pisa）的确是古列尔莫·波那契（Guglielmo Bonacci）的儿子（“斐波那契”意为“波那契的儿子”）。斐波那契这个名字被沿用下来，与数学史上其他伟大的名字相映成趣。
在其职业生涯早期，斐波那契担任意大利海关官员，在阿尔及利亚工作。他陪同父亲去叙利亚和埃及等地旅行，很早就接触到了意大利传统之外的数学，发现了各种各样或激进、或颠覆、或单纯有用的运算和观念。《计算之书》收录了大量的数学发明、谜题、解题方法和奇闻逸事，包括生成现在以斐波那契为名的数列的规则（基于繁殖不受控制的兔子数量增长问题的计算）。
不过，该书也对如何将负数作为公认的数学工具进行了讨论。在一道例题中，斐波那契假设四个人按特定比例瓜分一个钱包里的钱：
有四个人。如果甲拿到钱包，他的钱财就是乙和丙两人钱财的两倍；如果乙拿到钱包，他的钱财就是丙和丁两人钱财的三倍；如果丙拿到钱包，他的钱财就是丁和甲两人钱财的四倍；如果丁拿到钱包，他的钱财就是甲和乙两人的钱财的五倍……
如果分别用字母 A 、 B 、 C 、 D 来表示这四个人，用 P 来表示钱包里的钱财，我们可以将上述内容改写为一组“联立方程”：
A + P =2（ B + C ）
B + P =3（ C + D ）
C + P =4（ D + A ）
D + P =5（ A + B ）
这些方程写出了所有未知数之间的数字关系。斐波那契说，解有好几组，其中最小的一组是“乙有4，丙有1，丁有4，钱包有11，而甲之借项为1”。不过，有意思的地方在于他使用了“借项”这个措辞。斐波那契明确表示，“除非承认第一个人可以有借项，否则此题无解”。随后，他演示了该借项的负数计算。
尽管斐波那契成功地通过他的著作将一些数学观念传播给了他的欧洲同胞，但负数这部分基本上是明珠暗投，几百年过去了，西方还是没有真正理解负数。以法国数学家布莱兹·帕斯卡尔（Blaise Pascal）对“0减4等于几”这一问题的回答为例，他认为答案是0，而且他蔑视任何异见者。他在《思想录》（ Pensées ）中写道：“我知道有些人不能理解，从无中取四仍为无。” [14] 当时已经是17世纪中叶，是人们发明了显微镜和望远镜、发现了牛顿定律和电力的时代。即使在科学发现和技术革新的过程中，一些西方最优秀的人才也不愿意承认负数的存在。
后来，牛津大学萨维尔几何学教授约翰·沃利斯（John Wallis）意识到，图形能够促进理解，事情这才开始发生变化。1685年，沃利斯出版了《代数论》（ A Treatise of Algebra ）。在书中，他把一系列数字标在一条坐标轴上，并将坐标轴延伸到负数。他承认，抽象的负数很难理解，但他认为，如果用距离这样的物理概念来解释，你就明白了。当然，这不是他的原话。他是这样写的： [15]
然而，如果理解正确，那个（负数的）假设并非无用，亦不荒谬。虽然，就赤裸裸的代数符号而言，它所表示的数量比零少，但是，当涉及物理应用时，它所表示的数量就像前面带+号的数字一样真实，不过在解释时要取相反的意义。
换句话说，它是相反意义上的正数。这基本上是我们现在的说法。他提到的“物理应用”指的是从一个固定点沿直线测量距离，然后再折返——越过那个固定点才停下来。他问，如果一个人从
A
点前进5码
，然后掉头转身走8码，这时他离起点有多远。毫无疑问，他的答案是-3。
约翰·沃利斯的数轴
沃利斯对这一见解的冗长辩护读来很是引人入胜。他写道：“也就是说，他走的距离比零少3码。”接着，他以各种不同方式解释这个理念。今天，如果一个9岁孩子写出了这个答案，老师会在练习本上打个钩，仅此而已。可沃利斯下了大力气反复论证，为-3的意义另外写下了17行文字。沃利斯明白，这是一个激进的理念。
如今，我们把减号看作数学符号这个巨大工具箱中的一个小工具。我们已经对它和它的所指习以为常，以至于忘记了它曾经是个重大创新。一旦我们接受了负数的存在，它们所开创的就不仅仅是一种量化债务的方式，它们为大量的现象提供了自然的、易于理解的数学描述。物理力为其一，有了正数和负数，我们得以预测炮弹的射程，因为重力作用于它们的飞行。同样，预测计算使我们有能力树立起强大、稳定的建筑结构，平衡好所有的力和负荷。但凡有两样东西处于对立状态——无论是宇宙飞船和地心引力、收入和支出，还是船帆捕捉到的风力和船头遭遇的海洋阻力——负数就能降低计算难度。
尽管负数很有用，但它还不足以将人类带入现代世界。也许你已经注意到，沃利斯的数轴上并没有数字：它只是用字母 A 、 B 、 C 和 D 标记了线段。这些线段分别对应于我们现在所说的0、5、3和-3。沃利斯之所以避免使用这些数字，有其原因：另一个极其重要的数学工具“零”还没有被人接受。
零的故事始于舒尔吉国王在他的数学国家中运用“位置记号”。我们很小的时候就学过，在写一个诸如“1234”的数字时，我们可以分别根据数位为其中的单个数字赋值。4的位置最低，指代4个单位，相当于“4个苹果”。因为我们采用十进制——也就是说，我们将数字以10为单位分组，逢10进1，所以在“1234”这个数字里，4左边是十位数，数值为3，代表30。再向左移动1位，这是百位数，也就是10个10，在“1234”这个数字里，百位数为2。最左边是千位数：即10个100。因此，我们把“1234”这个数字读成“一千二百三十四”。
舒尔吉国王的位置记号为六十进制，而非十进制。我们目前还不清楚为什么六十进制在早期数字书写中成为主流。一些数学史学家认为，这是因为60能被1至6之间的所有整数（以及其他6个数字）整除，比较好用，特别是在划分货物、成本和度量衡单位的时候。还有人认为，这是因为在计算一年中的大致天数时，使用六十进制较为简单易行。无论如何，六十进制的身影如今犹存：旧时中东地区的若干王国最终整合形成巴比伦，而正是它们规定了圆有360度、1度等于60分、1小时有60分钟、1分钟等于60秒。
巴比伦的六十进制符号与我们的十进制相似。例如，34被写成3个标识10的记号和标识4个单位的记号。但是，巴比伦的记号最大只到59，所以十进制数字424 000在六十进制中被写成1 574 640，也就是40个单位，46个60，57个60乘以60（60 2 ）和1个60乘以60再乘以60（60 3 ）。
只要数字里不涉及“空”数位，上述符号（还有我们现用的符号）均可胜任。然而，回到十进制，4005这个数字该怎么表示？它的百位为空，十位也为空，我们必须找到一种方法来表示某些数位为“空”。于是，我们开始使用我们现在所知的“零”符号。
这个符号开始并不是“零”。它的演变历史尚存诸多空白之处，但是对巴比伦人来说，这个空栏的占位符似乎从一开始就是一个斜楔形：
（虽然这一点也存在争议）。
[16]
玛雅人和印加人也使用一个抽象的符号或字形作为占位符表示一个空位。他们用的都不是我们所熟悉的“零”符号：我们认为“零”这个符号衍生于印度教单词“shunya”，其意为“空”，用一个点代表虚无。巴赫沙利（Bakhshali）手稿是已知的用这种圆形占位符来表示空栏的最古老文献，这份写在70片桦树皮上的印度文书稿大约在公元224年至383年之间写成，可能是佛教僧侣的培训手册。不过，“shunya”还要再过一段时间才能成为数学意义上的“零”。婆罗门笈多公元628年的专著采纳了负数概念，这也是“零”（确切来说，印度教的“shunya”）第一次突破空间占位符的身份。它成了数轴的一部分，本身就是一个数量，同样受到支配其他数量的算术法则的约束。以下是婆罗门笈多对零与其他数字（包括正数和负数）如何互动的看法：
一笔债务减去零，其差为债务。
一笔财富减去零，其差为财富。
零减去零，其差为零。
零减去一笔债务，其差为财富。
零减去一笔财富，其差为债务。
零和一笔债务或财富相乘，其积为零。
零和零相乘，其积为零。
9世纪的波斯数学家和天文学家穆罕默德·伊本·穆萨·花拉子米（Muhammad ibn Musa al-Khwārizmī）首次将零带到了西方的视野中。在他的著作中，他采用了我们现在所称的阿拉伯数字，还接纳了零，赞美它让数位们各司其职。他将零命名为“sifr”，意为“空”。拉丁语把它转写为“zephyrum”，意大利人又将其改写为“zero”，即现代英语中的“零”。
然而，零对花拉子米来说不仅仅是一个数字符号。同婆罗门笈多一样，他也将其作为一个代数工具，从而巩固了其在数字运算方面的重要性。他称零为“圆圈形状的第十个数字”。在花拉子米看来，零显然是数字之一，并在他830年左右发表的《代数学》（ Al-kitab al-mukhtasar fi hasib al-jabr wa'l-muqabala ）中发挥了关键作用。顺便提一句，“代数”（algebra）一词来自该书书名，而“算法”（algorithm）一词则取自作者的名字，花拉子米是一个真正有影响力的人。他希望他的书对所有人都有价值，他提供的数字工具在“继承、遗产、分割、诉讼和贸易中，但凡涉及测量土地、开凿运河、几何计算，以及其他各种类型的物体，都是有用的”。然而，尽管有如此广阔的应用前景，西方人却对零的概念望而生畏。
现在的我们似乎觉得零的存在不证自明，对其功用耳熟能详，以至于很难想象数制少了它也行。但数制的存在确实先于零的出现，而且早了很长一段时间。公元10世纪，法国僧侣欧里亚克的热尔贝（Gerbert of Aurillac）前往西班牙研究伊斯兰数学，他接触到零的概念后忽视了它。热尔贝看到了花拉子米数学思想的价值，把后者的许多理念传播给了欧洲商人，但他并没有把零带回欧洲，而是专注于教授算盘技能。
热尔贝游学过后200年，零仍然不受欢迎。据说，英国历史学家马姆斯伯里的威廉（William of Malmesbury）把这个概念称为“危险的撒拉森魔法”。 [17] 即便斐波那契让欧洲人领会到零的力量，但他也没有把零纳入数字之列。他在《计算之书》里告诉我们：“九个印度数字是：9、8、7、6、5、4、3、2、1。有了这九个数字，再加上符号0……任何数字都可以写出来。”称零为“符号”表明他的态度跟花拉子米不同，他仍未真正将零视为数字。
究竟是什么造成了这种抗拒的状态，我们很难说清楚。部分原因在于，时人觉得，不存在的事物与存在的事物不可同日而语。希腊数学哲学认为正整数的性质神圣，容不下负数。同理，它也不能容忍无中生有。亚里士多德在《物理学》（
Physica
）一书中指出，拿一个数去除以零没有意义，所以零不能算作一个数字。
或许更重要的是，零在中世纪欧洲知识分子的主要计算工具——算盘上找不到。
我们现在以为，算盘就是把珠子或石头用线串起来，方便计算，其实不然。算盘这个名称被认为源自古代中东地区表示“灰尘”和“板”的词，所以最早的算盘可能是一块上覆沙土的板材，人们用手指或石头在上面写写算算，然后抹平，进行新的计算。
算珠的排列方式规避掉了零。因为你可以看到石头或标记物整齐地排成一列，位置信息隐含在内，不需要明确地标记“此处为空”。一旦你学会了全套算盘算法，你肯定会抵触另一种新奇的数字表示方式。
在过去，打算盘的本领备受追捧，甚至还有点性感。乔叟在创作《坎特伯雷故事集》之一“磨坊主的故事”时，竭尽全力把主人公尼古拉斯塑造成一个（彻头彻尾的）无耻知识分子。“聪明的尼古拉斯”有一个用于天文测量的星盘和一本指导他思考的希腊语教科书。而且，乔叟告诉我们，尼古拉斯把算珠整齐地放在床边的架子上，随时准备进行任何必要的计算。本质上，他是一个书呆子。他成功地给他的房东（一个富有但愚钝的木匠）戴上了绿帽子，这一事实在当今文化下将会是一个令人惊讶的大反转，但在“磨坊主的故事”里，尼古拉斯的人设令木匠年轻漂亮的妻子无法抗拒。
学者认为，尼古拉斯代表了乔叟的密友英格兰国王理查二世所欣赏的一切。在写《坎特伯雷故事集》的时候，乔叟是国王的亲密伙伴，而且对我们来说，更有意思的是，他在伦敦港海关担任首席审计师。算盘出现在故事里是有原因的：它是1380年前后知识分子（包括乔叟）的标志。
如今，算盘的形式多种多样，例如中国式算盘、日本式算盘和俄罗斯式算盘。许多地方仍然在低年级教学中使用算盘，把基本的算术过程形象地呈现在学童面前。甚至有证据表明，算盘可以重塑使用者的大脑。 [18] 在当今的算盘大师（大多是东亚的学童）当中，有许多人因为训练有素，甚至都不需要实物算盘。他们可以想象算珠的位置和变动情况，跟经验丰富的棋手在没有棋盘或棋子的情况下走盲棋有异曲同工之妙。算盘老手能进行的运算远不止于加减法，例如，他们可以打算盘算出数字的平方根。不过，尽管算盘很神奇，我们已经有很多个世纪不需要它了——主要是因为零暴露了它的局限性。把你的数学运算写下来，需要多少个零就写多少个零，你就能够应对无穷大的数字和无限复杂的计算。
西方最早正式采用零和阿拉伯数字，貌似可以上溯到意大利比萨加莱拉尼公司在1305年做的账目。 [19] 不过，罗马数字仍然流行，并且在接下来一个世纪的会计工作里占据上风——商人也好，银行家也好，都抗拒改变。但渐渐地，人们意识到，计算时使用罗马数字和其他没有零的计数系统非常烦琐，阿拉伯计数系统使可验算的书面计算成为可能。把1到9的数字写出来，再加上0的补充，我们就可以开发出算法——计算方法——来简化大数目的乘除。算盘逐渐变得多余，到1500年，久负盛名的美第奇银行的管理者明确规定：在他们的账目中只能使用阿拉伯数字。 [20] 慢慢地，阿拉伯数字的影响势不可挡地扩散开来。几百年后，阿拉伯数字，包括最终不可抗拒的零，占领了世界。
这件事并非偶然，而是与人类社会发展的空前加速相吻合的。工具箱里有了零和负数之后，我们发现自己能够追踪那些开创了全球贸易和繁荣时代的数字——美第奇银行、法国大革命和亚历山大·汉密尔顿的辉煌金融创新就是例证。
当你得知人类社会发展的加速始于复式记账法时，你会大吃一惊。简单来说，复式记账法是一种确保会计核算不出差错的方法。每笔交易都记录在两个独立的账户中，这样就可以相互核对。我们在讨论数字手势时提到过卢卡·帕乔利在1494年出版的《算术、几何、比及比例概要》，该书清楚地阐述了下述要点 [21] ：“所有债权人必须列在账簿的右侧，所有债务人列在左侧。账簿中的所有条目都必须复式记录——也就是说，如果你记录了一个债权人，你就必须记录下对应的债务人。”
最早使用复式记账系统的可能是朝鲜商人。根据大韩国民银行现存文件，他们在11世纪与中国和阿拉伯的贸易往来中使用了“四柱记账法”。四柱分别指买家姓名、卖家姓名、买家收到的商品数量或支付的金额，以及卖家交付的商品数量或收到的金额。每笔交易都要求复式记账。
遗憾的是，我们找不到这方面的直接证据，大韩国民银行的档案只记载了一些轶事，而现存最早的朝鲜商业记录仅仅上溯到19世纪中期。不过，我们确实有一本写于15世纪、描述复式记账法的书为证。克罗地亚数学家本科·克特鲁耶维奇（Benko Kotruljević）于1416年出生于杜布罗夫尼克，他在1458年写下了《论商业和完美商人》（ On Merchantry and the Perfect Merchant ）。 [22] 克特鲁耶维奇阐述了一个每笔交易都在账簿中提及两次的体系：如果你买了一根测量杖，你会在贷方栏目记下它的价格，在借方栏目记下你支付的金额。
不过，在克特鲁耶维奇的书出版之前，欧洲已经使用复式记账了。我们之所以知道这一点，是因为我们有各种证据，包括一个名叫杰科莫·巴多尔（Jachomo Badoer）的威尼斯商人的财务记录。 [23] 巴多尔的复式账本（或者说近似复式记账法的账本）记录了他1436年至1439在君士坦丁堡的交易详情，全部采用阿拉伯数字，零也用上了。巴多尔在君士坦丁堡把香料、羊毛、奴隶和其他各种商品出口到威尼斯，他的兄弟则在威尼斯负责进口和销售方面的业务。
在15世纪意大利北部的金融重镇，像巴多尔这样的商人成百上千。东西方之间的贸易路线在这里交汇，欧洲十字军来往耶路撒冷的路上在这里驻足，商业交易中需要使用形形色色的货币。如果哪家企业能够建立起一套有效追踪所有数字（包括承载债务概念的负数）的体系，就会享有竞争优势。
除了促进贸易，复式记账法还改变了企业的发展和运作方式。复式记账系统以会计方程式“资产=负债+所有者权益”为中心。换句话说，企业的健康状况取决于其债务和当前持有资产的总和。两者均在每笔交易后进行核算。这样一来，任何企业相关人员都能一目了然地知悉企业的价值。因此，如果你正在考虑是否向一家公司贷款或提供货物，你可以清楚地看到对方的债务、运营成本、资产、贷款和净值，再也不用听老板口说无凭或者寄希望于家族信誉了。如果账目轧平了，而且得数不错，你的交易就可以进行下去。如果你想购买企业，也可以先看目标企业的复式账簿。因为复式记账法的前提为，企业是独立于其所有者的实体。如果所有者有意，他们可以评估和出售企业。虽然现代人很难理解，但这套记账法的首次推广在当时具有革命意义。企业不再需要代代相传，也无须死守某个行业；你可以开一家企业，像对待可支配资本一样对待它。如果你想在开第一家企业的同时开另一家企业，这些账本可以证明你的商业头脑，甚至可以充当贷款抵押品。
准确的记账法也催生了其他行业，如海上保险。漂洋过海风险很高，海盗和天灾随时都有可能劫持或者击沉宝贵的货物。准确记录船上资产的能力让评估风险和承保航程更加轻松了。船只本身也变得更有价值，所有权和纳税义务的会计核算制度可以保护货船，让其不受往往急于掠夺资产以填补空虚的战备库的君主扣押。商人阶层同意向王室缴纳所有税款并做必要的文书记录，他们所要求的回报仅仅是同君主达成协议，任何被记录为私人资产的东西不得被征用。除了海上贸易，农业用地也用同样的方式处理：认定、证明和转让所有权的能力为土地和使其有利可图的劳动力创造了市场，还让它免遭统治阶级随心所欲的重新分配。
几个世纪过去了，复式记账法公开、易懂的数字促进了资本主义的崛起。拥有标准石油公司的亿万富翁约翰·洛克菲勒是复式记账法的最大倡导者之一：他的第一份工作就是簿记员
，还经常把自己的成就归功于对资产负债表的严格控制和深刻理解。
[24]
洛克菲勒曾坦言，他的商业头脑大都来自仔细阅读他的第一位雇主在他入职前几年积下的账簿。簿记对他来说是一种乐趣，以至于他每年都要在9月26日这天庆祝，因为这是他在1855年第一次当上助理簿记员的日子。
瓷器大亨乔赛亚·韦奇伍德（Josiah Wedgwood）同样证明了记账能力超群的价值。1772年，他对其陷入困境的公司的复式账目进行了深入、繁复的分析，并利用分析心得扭亏为盈，成果斐然。 [25] 账簿上的数字让韦奇伍德意识到导致其蓬勃发展的企业陷入困境的问题：成本飙升和逾期付款。他采取了各种对策，包括首次尝试大规模生产，以实现利润最大化。虽然韦奇伍德后来异常富有，但他没有把赚到的钱捂在口袋里，而是资助各种社会关怀项目，其中最著名的莫过于为废奴运动摇旗呐喊。韦奇伍德的另一项伟大遗产是让乔赛亚的外孙，一位崭露头角的自然学家，有财力乘坐“小猎犬”号环游世界。复式记账法带来的对数字（也就是利润）的控制，为查尔斯·达尔文提出自然选择进化论提供了资金。谁能料到，发明数字会有助于人类加深对自身起源的理解？
最后值得一提的是，卡尔·马克思也对簿记入迷。在研究资本主义起源时，马克思要求他的朋友弗里德里希·恩格斯（他的家族在英格兰北部拥有一家棉纺厂）向他提供“一个带注解的意大利簿记实例”。 [26] 正是因为对恩格斯公司账目的研究，马克思才开始认同洛克菲勒的观点，即通过掌握账目、研究账目来控制和优化生产成本是资本主义企业的一个关键要素。可以说，马克思不是复式记账法的粉丝。他认为资本主义是少数人（生产资料的所有者）积累财富的一种手段，而这种财富是有代价的：马克思说它的积累“只能通过同时破坏所有财富的原始来源——土壤和工人”来实现。马克思把资本主义的力量完全归咎于复式记账法。他意识到，谁控制了数字，谁就控制了所有事物和所有人。
马克思提到资本主义将破坏我们脚下的土地，这真是奇异的先见之明。近年来，评论家们开始提出环境危机，包括灾难性的气候变化、前所未有的生物灭绝率、森林砍伐提速和土壤肥力的严重降低（以及其他令人忧心之现象）的根源也在于复式记账。我们对数字力量的痴迷导致我们只重视可以输入电子表格的数字。其后果是，我们一方面贬低了不能用可操纵的数字来表示的所有资产的价值，另一方面又制定了心有余而力不足的措施。这样一来，我们把各国的经济简化为一个单一的、武断定义的数字——国内生产总值。至少按照正统经济学家的说法，我们必须不惜一切代价将其最大化。同时，我们通过由数字统治的机构——银行——来运作全球经济，而银行可以控制整个民族国家的财富却几乎不受惩罚。然而，在此过程中，我们没有考虑到土壤、森林、野生动植物（尤其是昆虫）和跨国资产（如极地冰帽）的价值。有人认为，这是一种引发环境崩溃的算法。
我并不是说企业不好，而银行本身肯定也不坏。恰恰相反，如果没有银行服务，我们中的许多人就无法居者有其屋，或过上相对奢侈的生活。不过，坏处也的确存在，数字和它们的附属品构成资产负债表，资产负债表为审计和问责奠定基础。但是，如果审计不诚实，资产负债表上可能会出现虚构的交易、虚构的生利举措，涉事人还会想办法实施这些举措。问题在于，有时候，虚构出来的利润需要取现——然后银行就倒闭了。
我们并没有从美第奇银行的倒闭中吸取教训，在过去的四个世纪里，那些掌握着数字的人的影响力和重要性与日俱增。在2007年金融危机中，每一家倒闭的银行都被认为拥有巨额资产——货币、财产和负债，以至于其中几家银行加起来的财富超过了它们经营业务的所在国。经济学界的普遍看法是，如果政府让它们倒下，许多人的生计、许多经济中最重要的公司和许多东道国经济增长的希望将荡然无存。因此，银行被视作“太大而不能倒下的存在”，政府只能花巨大的代价救助它们，整个世界因而陷入混乱。
这种混乱证明了数字自从发明以来对我们的影响力有多大。它解释了为什么一个会计可以挑起法国大革命，为什么美国的独立斗争围绕银行业实践展开，以及为什么欧洲因为一个中世纪簿记员的死亡而陷入金融动荡。
然而，尽管会计的成就和影响巨大，我们中的许多人都倾向于用更炫目的指标来衡量文明的发展，例如，建筑、绘画、雕塑和音乐常常被誉为高度文明的标志。不过，在这里我们也不得不承认一个奇特的巧合，会计和艺术在同一时间和同一地点经历了一次天翻地覆的重启：文艺复兴伊始，意大利北部。正如我们看到的，会计学的兴起可以追溯到计数艺术的发展。不过，另一项数学革新创造了文艺复兴时期更知名的辉煌，为了探索这场变革，我们必须回到几何学科的发源地古希腊。在我最初学数学的那几年里，我觉得几何学陈腐无比，我曾经怀疑，几何学到底有什么意义？答案马上就会揭晓。
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[26] Gleeson-White, Double Entry .