4.2 定位误差分析

4.2.1 均方误差几何表示

以两个观测站对二维静止辐射源定位为例，如图4-7所示设点 x _T 为辐射源真实位置，从点 x _T 到观测站1（ x ₁ ， y ₁ ）和观测站2（ x ₂ ， y ₂ ）的方位角分别为 α ₁ 和 α ₂ ，距离分别为 r ₁ 和 r ₂ 。测向误差分别为Δ α ₁ 和Δ α ₂ ，实测的两条测向线交于点 ，则点 为辐射源位置的估计值，其误差为点 到点 x _T 的距离 R 。假设两站不存在站址误差，其测向误差Δ α ₁ 和Δ α ₂ 均值为零，方差分别为 和 ，相关系数为 ρ 。 n ₁ 和 n ₂ 与图 3-1 中一致，具体表达式为式（3-25）。

1.定位误差

根据上述假设，由3.2.1.2节定位误差几何表示中式（3-17）可得其梯度为

代入式（3-29）可得双站测向定位的均方误差为

式中， φ 为∇ h ₁ 和-∇ h ₂ 之间的夹角，且 φ =π-（ α ₂ -α ₁ ）； 。

当两个观测站测向误差不相关（ ρ =0），且 = = 时， 。

将上述公式中 r ₁ 和 r ₂ 利用观测站位置与方位角进行改写，得到如下形式：

为了便于求解双站定位区域内的最小定位误差位置，即 的最小值，假设观测站1和观测站2均位于 X 轴上，则上式可简化为

令 f （ α ₁ ， α ₂ ）= ，对 f （ α ₁ ， α ₂ ）分别关于 α ₁ 和 α ₂ 求偏导并令其等于0，可得

可解得 α ₁ = =35.26°， α ₂ =180° -α ₁ =144.74°。

由二维函数求极值理论可知，由于 >0且 - =-4.2715<0，因此当=35.26°，=144.74°时，绝对定位误差取得极小值。

对应的最小定位误差位置坐标为

图4-8给出了两个观测站坐标为 x ₁ =[-20，0] ^T （km）， x ₂ =[20，0] ^T （km），测向均方根误差为1°的双站测向定位绝对误差等值线。

2.相对定位误差

除了上面分析的定位误差，相对定位误差也是工程中常用的定位指标，即绝对定位误差到两个观测站基线距离的比值。由式（4-31）可得相对定位误差

式中， D 2= 。

为了便于求解双站定位区域内的最小相对定位误差位置，即 的最小值，假设观测站1和观测站2均位于 X 轴上，则上式可简化为

令 g （ α ₁ ， α ₂ ）= ，对 g （ α ₁ ， α ₂ ）分别关于 α ₁ 和 α ₂ 求偏导并令其等于0，可得

可解得 α ₁ = =54.73°， α ₂ =180° -α ₁ =125.27°。

由二维函数求极值理论可知，由于 >0， -=-170.8594<0，因此当=54.73°=125.27°时，相对定位误差取得极小值。

对应的最小相对定位误差位置坐标公式为

图4-9给出了两个观测站坐标为 x ₁ =[-20，0] ^T （km）， x ₂ =[20，0] ^T （km），测向均方根误差为1°的双站测向定位相对误差等值线。

4.2.2 克拉美-罗下界

基于式（4-2）测向定位观测方程，其测向误差 ξ～ ，假设不同观测站测向误差相互独立，则 Σ _ξ = ， = ， l =1，2， … ， L ，观测站位置误差 ε～ ，各站址误差之间互不相关，可得 Σ _ε = 。根据式（3-41）可知辐射源位置 x 估计的CRLB为

式中， J = ， b _l =， d _l = ， r _l = ， l =1，2， … ， L ； J ₂ = = ， c _l = 。

特别地，当站址误差各个分量Δ x _i 、Δ y _i 、Δ z _i 误差一致且 α _l 和 _l β 误差不相关时，有 = ， = = ，则

测向定位最大似然估计法的RMSE为

假设两个观测站坐标为 x ₁ =[-20，0] ^T （km）， x ₂ =[20，0] ^T （km），测向均方根误差为1°，当站址误差 X 和 Y 方向均为200m时，测向定位误差RMSE等值线如图4-10所示。

对于上述介绍的定位优化算法与 CRLB 进行仿真比较。假设静止辐射源坐标位置为 x _T =[55，35] ^T ，单个运动观测站初始位置位于 x _O =[5，13] ^T ，速度为 =[2，-0.4] ^T ，共观测20个单位时间，观测站与辐射源位置示意如图4-11所示。

上述单个运动观测站对静止辐射源测向定位场景中，不同优化算法的定位误差如图4-12所示。

由图4.12可以看出，随着测向误差的增大，各定位优化算法的误差也随之增大。而最大似然估计G-N迭代法、最大似然估计网格搜索法、总体最小二乘解析法的定位误差最接近CRLB。

4.2.3 测向定位误差概率

对于两个以上的固定测向站或一个运动的测向站，若测向过程中不存在误差，则其测向的方位线将相交于一点，即辐射源位置。但通常测得的方向角中总存在测量误差和噪声，使得方向线不再相交于一点。以二维测向定位为例，存在测向误差时运动单站的方位线如图4-13所示。

在 L 个不同位置对目标进行测向定位，其误差椭圆的长、短半轴表达式为 ^[23]

式中， κ =-2 ln（1 -P ）， P 为位置估计值 落入以 x _T 为中心、长半轴为 a 、短半轴为 b 的椭圆内的概率； η = ； μ = ； γ = ， r _l 为第 l 次观测时的目标与观测站的距离， _l α 为第 l 次观测时的测向结果， 为第 l 次观测时测向误差的标准偏差。

当运动单站对辐射源测向存在误差时，假设机动测向站沿直线运动，运动距离为线段 d ，辐射源在该运动直线的中垂线上，到该线段的距离为 h 。当测向时间均匀分布，测向次数 L ≥5的时候，误差椭圆的长、短半轴可近似表示为 ^[24]

其推导过程见附录D。

用 n 个测向站对辐射源定位，由于存在测向误差，在辐射源真实位置附近最多可以有 n （ n -1）/2个交叉点，这些交叉点处于一个闭合多边形的各边上，如果测量误差均值为零，那么 n =3时辐射源位于三角形内的概率仅为25%，如图4-14所示。图中实线为辐射源真实来波方向，交汇于一点，虚线为存在误差时的测向线，其中“正”为测向线相较于真实来波方向正偏，“负”为测向线相较于真实来波方向负偏。

用数学归纳法可以证明对于 n ≥3，辐射源位于多边形（三条测向线可构成如图4-14所示的三角形区域，四条测向线可构成三角形或四边形区域）内的概率为 p _n =1- ，则有： /nqCdKbrsAs8zdnSEbfsBFqlwBS5Ro9w0BD29A5X+eo4GPvOQy78fkM8XJVIAj+i