2.3 定位误差指标及表征方式

定位误差是无线电辐射源定位系统的重要指标，有多种表征方式，严格的定位误差由其概率分布函数表示，对高斯分布，根据均值和协方差矩阵是否已知可以用误差椭圆或置信椭圆表示，针对特定概率的定位误差也可以用圆概率误差和均方根误差近似表示，后两者还是常用的定位误差指标。下面介绍一些常用的定位误差表征方式，并对其特点与应用进行分析。

2.3.1 误差相关矩阵

定位误差相关矩阵（ECM）定义如下：

式中， x 为辐射源位置 ^[1] ， 为 x 的估计， = 为定位估计 的协方差矩阵， = -x 为估计偏差，这里 表示 V 与 有关，但不排除 V 与 x 等其他量有关， 等均按此理解。求 V 只需要知道定位估计量 的一阶矩和二阶矩，对 的分布函数不作要求。

在定位试验与仿真研究中，当估计量 ， k =1，2，…， K 独立同分布，具有遍历性，且 K 足够大时，可得到ECM的近似值

当 为 x 的无偏估计 ^[2] 时，协方差矩阵即定位误差相关矩阵。

2.3.2 均方误差及均方根误差

定位均方误差（MSE）是标量，表示的是距离平方误差的平均值。其表达式定义如下：

在定位试验与仿真研究中，当各估计量 ， k =1，2，…， K 独立同分布，具有遍历性，且 K 足够大时，可得到MSE的近似值：

定位均方根误差（RMSE）是与MSE关联的指标，其表达式如下：

注意，RMSE不等于距离误差的平均值。

双站对辐射源测向定位1000次蒙特卡罗仿真试验可得定位点迹散点图与定位均方根误差如图2-10所示。图2-10（a）是各次定位的结果，图2-10（b）是RMSE随统计点数增加的估计值，1000次试验的定位均方根误差统计结果8.2418km与理论计算结果8.1872km吻合较好。仿真假设测向误差为2°，两个观测站位置分别为 x ₁ =[-40，0] ^T （km）， x ₂ =[40，0] ^T （km），辐射源位置为 x _T =[55，80] ^T （km）。

2.3.3 几何稀释精度

前述定位误差性能指标中，将参数测量误差以及辐射源与观测站之间相对位置引起的误差放大几何效应一并考虑在内。由于辐射源与观测站之间相对位置不同时，同样的参数测量误差引起的定位误差可能不同，图2-11显示了不同相对位置引起的测向定位误差区域，从图中可以看到，相同的测向误差，不同的相对位置，所构成的定位误差大小明显不同，因此需要对几何影响专门进行分析。

图2-11（a）中 O ₁ 和 O ₂ 为两个不同位置的辐射源，虚线为从观测站到目标的真实方向线，实线为存在测向误差时的方向线。对于相同的测向误差， O ₁ 的测向定位结果为 T ₁ ， O ₂ 的测向定位结果为 T ₂ ，显然‖ O ₁ T ₁ ‖> O ₂ T ₂ ‖，可见对于固定站间距，不同辐射源位置存在不同的定位误差。图2-11（b）中 O 为辐射源真实位置，观测站1与观测站2测向定位结果为 T ₁ ，对于相同的测向误差，观测站1 ′ 与观测站2 ′ 测向定位结果为 T ₂ ，显然‖ OT _1‖ <‖ OT ₂ ‖，从而说明对于同一位置的目标，不同观测站位置存在不同的定位误差。为减小参数测量误差影响，更好地评估误差放大几何效应，可用几何稀释精度（GDOP）描述仅由辐射源与观测站之间不同相对位置导致的定位误差情况，GDOP定义为均方根位置误差与均方根距离误差之比，注意GDOP不是一般意义上定位误差表示。

当位置估计 时，GDOP ^[6，7] 的定义如下：

式中， V 为误差相关矩阵， 为第 l （ l =1，2，…， L ）个观测站参数测量误差引起的距离误差。

当定位线估计误差 ξ ～ ， Σ _ξ > 0 时，采用极大似然估计，式（2-11）可以近似为

式中， J 为观测方程的雅可比矩阵（具体形式见2.3.6节）， Σ _ξ 为参数测量误差协方差矩阵。

1.测向定位GDOP ^[6]

考虑二维 L 站测向定位，设第 l 个观测站的测向结果为 α _l =arctan ， l =1，2，…， L ，则有梯度矩阵 J = ， =（ x-x _l ） ² +（ y-y _l ） ² ，表示从第 l 个观测站到目标的距离。

假设各站测向误差Δ _l α 互不相关，且 ，则有 Σ _ξ = ，由此引起的距离误差为 σ _l = r _l · 。将 J 、 Σ _ξ 、 _l σ 代入式（2-12）即可得到测向定位GDOP。特别地，当 ， l =1，2，…， L 时， 与 σ _α 近似无关。

2.时差定位GDOP ^[6]

考虑平面上 L 站时差定位，有 J = N · F _t ， F _t = ，其中 c 为信号传播速度， x =[ x ， y ] ^T ， x _l =[ x _l ， y _l ] ^T ， l =1，2，…， L ， N = 。

假设各站到达时间测量误差Δ t _l 互不相关，且 ，则有 Σ _ξ = N Σ _t N ^T = ，由此引起的距离误差为 σ _l = c · 。将 J 、 Σ _ξ 、 _l σ 代入式（2-12）可得到时差定位GDOP。特别地，当 ， l =1，2，…， L 时， 与 _t σ 近似无关。

3.时频差定位GDOP

对于时频差定位，由于时差与频差的观测量纲不一致，因此在计算GDOP时需要将测量误差均转换到距离单位，再代入式（2-12）计算。平面上 L 站时频差定位的梯度矩阵为

式中， F f = ， f ₀ 表示信号频率， ， 表示第 l 个观测站的速度矢量， K = ， N 与 F _t 定义同上。

假设各观测站到达时间测量误差之间不相关，测量误差的协方差为 ，各观测站多普勒频移测量误差之间不相关，测量误差的协方差为 ，则时频差测量误差的协方差矩阵为 Σ _ξ = K · · K ^T ，由时频差引起的定位距离误差为 = 。将 J 、 Σ _ξ 、 _l σ 代入式（2-12）即可得到时频差定位GDOP。特别地，时频差测量误差同步放大或者缩小相同倍数时， 几乎不变。频移GDOP公式可参照上述过程类似推导。

GDOP等值线图可以直观地显示相同参数测量误差情况下，对辐射源不同位置定位误差的差别。下面以双站测向定位为例，图2-12（a）中的两个观测站位于 x ₁ =[-40，0] ^T （km）， x ₂ =[40，0] ^T （km）；图2-12（b）中的两个观测站位于 x ₁ =[-20，0] ^T （km）， x ₂ =[20，0] ^T （km）。分别以在定位区域 x ∈[-100，100]与 y ∈[0，100]内计算 GDOP 值，在定位观测区域内，不同观测站位置的GDOP等值线如图2-12所示。

从图2-12中可以看出，加大两个测向站之间的定位基线，可以减小远处GDOP值。从图2-12（a）中可以看出， O ₂ 点[0，16]（km）处的GDOP≈2， O ₁ 点[0，28]（km）处的 GDOP≈1.5，而对比图2-11（a）可知，对于相同的测向误差， O ₂ 点处的定位误差明显小于 O ₁ 点处的定位误差，而 O ₂ 点处的GDOP值却大于 O ₁ 点处的GDOP值。在图2-12（b）中的 O 点[0，28]（km）处的GDOP≈1.5，而对比图2-11（b）可知，对于相同的测向误差，不同的站间距 O 点（ O ₁ 点）处的定位误差不同，而此点处的GDOP值相同。相同的GDOP值表明，定位误差由于几何原因产生的误差放大量相同，即目标与观测站相对位置的几何分布影响相同。

2.3.4 不确定性椭圆

若估计 服从高斯分布 ，且 x 与 P _x 已知，则 落入某个椭圆区域的概率可以由误差椭圆完全确定，若辐射源真实位置 x 未知，则由ˆ x 的 N 个观测值确定的某个随机范围包含 x 的概率可以由置信椭圆确定，而椭圆区间的大小与形状可用来表征定位结果的优劣。

由于 ，其概率密度函数为

概率密度等值线可以表示为

式中， κ 为任意正数。对式（2-15）可以分以下三种情形进行讨论 ^[8] 。

（1）辐射源真实位置 x 与协方差矩阵 P _x 均已知；

（2）辐射源真实位置 x 未知，协方差矩阵 P _x 已知；

（3）辐射源真实位置 x 与协方差矩阵 P _x 均未知。

2.3.4.1 误差椭圆

当 x 和 P _x 均已知时，由式（2-15）可以计算定位结果 落入误差椭圆 （EE） = κ 内的概率为

式中， Ω ₁ = ≤ κ }。

误差椭圆 = κ 的长半轴为 ，短半轴为 ，长半轴与 X 轴正向夹角为atan 2[ v ₁ （2）， v ₁ （1）]，其中 ₁ λ ≥ λ ₂ >0是 P _x 的特征值， v ₁ 为 ₁ λ 对应的特征矢量。

当 P （ κ ₀ ）= P ₀ ，即 κ ₀ =-2 ln（1 -P ₀ ）时 落入以 x 为中心，长、短半轴分别为 和 的椭圆 = κ ₀ 内的概率为 P ₀ ，此时椭圆的面积为

显然，对于给定的概率 P ₀ ，定位误差椭圆面积越小，定位精度越高。有关误差椭圆的更多信息可参见文献 ^[6] 。

假设两个观测站分别位于 x ₁ =[0，0] ^T （km）， x ₂ =[20，0] ^T （km），测向误差为1°，则针对辐射源不同位置给定概率0.5的误差椭圆EE _0.5 示意 ^[9] 如图2-13所示。

2.3.4.2 第一类置信椭圆

当 x 未知， P _x 已知时，对辐射源进行 N 次定位估计，得到

其均值为

由于 是 x 的无偏估计，且 服从自由度为2的 分布。因此，对于给定的 α （0< α <1）， 表示一个以 为中心的椭圆，且满足

式中，1 -α 为置信水平。上式表示椭圆包含辐射源真实位置 x 的概率为 P ₁ 。

式（2-20）可简化为

令 κ ₁ = ，则 = 可表示为

式（2-22）表示中心为 、长半轴为 、短半轴为 的椭圆，该随机椭圆以概率 P ₁ = 包含辐射源真实位置，当 N 给定时，椭圆越小，定位误差越小。

有关协方差已知的第一类置信椭圆（Confidence Ellipse of the First Kind，简记为CP1）的更多信息可参见文献 ^[8] 。

2.3.4.3 第二类置信椭圆

当 x 与 P _x 均未知时，对辐射源进行 N 次无偏定位估计，用均值 估计 x ，用样本协方差矩阵 Σ 估计 P _x ：

由于 Σ 是 P _x 的无偏估计，统计量 T ² = 服从自由度为 N -1的霍特林 T ² 分布（Hotelling's T ² Distribution）。对于给定的 α （0< α <1）， 表示以 为中心的椭圆，且满足

式中，1 -α 为置信水平。上式表示随机椭圆包含辐射源真实位置 x 的概率为 P ₂ 。

由文献 ^[10] 可知霍特林 T ² 分布可转换成 F 分布，存在以下等式关系：

则式（2-24）可以转换为

由式（2-26）可以推导出

令 κ ₂ = ，则 = 可以表示为

式（2-28）表示中心为 、长半轴为 、短半轴为 的椭圆，其中 和 是 Σ 的最大和最小特征值，该随机椭圆以概率 P ₂ = 包含辐射源真实位置，当 N 给定时，椭圆越小，定位误差越小。有关协方差未知的第二类置信椭圆（Confidence Ellipse of the Second Kind，简记为CP2）的更多信息可参见文献 ^[8] 。

2.3.4.1节所述误差椭圆，是定位结果 以给定概率落入其中的椭圆，该椭圆与定位次数 N 无关，而2.3.4.2节和2.3.4.3节描述的置信椭圆均是以多次定位均值为中心，并以给定概率包含辐射源真实位置 x ，椭圆的长、短半轴与定位次数 N 有关，图2-14给出了不同定位次数的椭圆覆盖概率。

当 N →∞时，有 Σ ≈ P _x ；当2< N ≪∞时，两种椭圆一般不同。下面是给定概率0.5，定位次数分别为 N =3和 N =10时，对不同定位次数的误差椭圆与第二类置信椭圆的仿真结果，如图2-15所示。

由图2-15可以看出，在定位次数较少时，第二类置信椭圆区域大于误差椭圆，而定位次数较多时，第二类置信椭圆区域小于误差椭圆。定位次数越多，置信椭圆区域越小，因此，置信椭圆需要在相同的 N 和置信水平条件下评估定位误差。

2.3.5 圆概率误差

误差椭圆虽然可以准确表示位置估计值落入以辐射源真实位置为中心区域内的概率，但是参数较多，而圆概率误差（CEP）则可以用一个参数表示类似概率。CEP 是指以辐射源真实位置为中心 ，且定位估计点以概率 p =0.5落入圆内时的圆半径 ^[11] ，当 p 取其他值（如 p =0.9）时，则记为CEP _p 。

假设定位估计 ，那么CEP是满足式（2-29）的圆半径：

式中， Ω ₂ = ≤CEP}。

用误差椭圆分析中得到的矩阵 P _x 的两个特征值 ₁ λ 和 λ ₂ 可近似表示CEP ^[12] ：

在对目标位置高斯估计偏差可以忽略不计且近似误差不大于10%的情况下，CEP可表示为 ^[6]

当估计偏差较大时，式（2-31）未必成立。

两个测向站对不同位置的静止辐射源测向定位1000次蒙特卡罗试验，得到静止辐射源定位结果散点图如图2-16所示。试验假设测向误差为2°，其中观测站位置分别为 x ₁ =[-40，0] ^T （km）， x ₂ =[40，0] ^T （km），辐射源位置分别为 =[65，80] ^T （km）， =[-10，50] ^T （km）。

从图2-16中可以看出，定位误差呈椭圆状分布，并且定位误差椭圆面积和形状与观测站和目标构成的几何构型有关。针对两个不同位置辐射源定位的EE _0.5 和CEP分布如图2-17所示。

对上述1000次蒙特卡罗试验的定位结果进行统计可得，对于目标 =[-10，50] ^T （km），位于CEP圆内有585个点，EE _0.5 内有508个点；对于目标 =[65，80] ^T （km），位于CEP圆内有485个点，EE _0.5 内有493个点。由此可以看出，EE _0.5 的椭圆包含定位点的比例更接近 0.5，CEP对定位估计呈扁椭圆形分布的表示误差较大。

2.3.6 克拉美-罗下界

克拉美-罗下界（CRLB）给出了无偏估计所能达到的方差下界，与实际使用的估计方法无关。假设 z 是关于辐射源真实位置 x 函数的测量矢量， z 的概率密度函数为 p （ z | x ），并且 和 存在，则关于未知参量 x 的Fisher信息矩阵 I （ x ）为

式中， = ， = ， x =[ x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ] ^T ， 。

使用梯度（gradient）算子 ^[13] ∇ _x = ， = ，信息矩阵 I （ x ）还可以表示为

下面考虑 I （ x ）的一种具体情况。假设 m 维测量矢量 z 可表示为

式中， ξ ～ （ 0 ， Σ _ξ ）， Σ _ξ > 0 ，因此 z ～ （ h （ x ）， Σ _ξ ）， z 的分布密度函数为

取对数，有

关于 x 取微分，有

式中，雅可比矩阵 ， h =[ h ₁ ， h ₂ ，…， h _m ] ^T 。

根据微分表示的唯一性，有

从而

由于 = ，因此 I （ x ）还可以表示为

关于辐射源位置 x 估计值 的误差相关矩阵 有克拉美-罗（CR）不等式 ^[13] [具体推导见附录A（三）]：

当 = 0 时，有

这时， I ^-1 （ x ）即无偏估计 的误差相关矩阵CRLB，值得注意的是，由 I ^-1 （ x ）得到的CRLB仅针对无偏估计有效，对于有偏估计，其误差相关矩阵CRLB由式（2-42）给出 ^[10，13] 。

当 z 为复测量矢量时， x 仍为未知实参量，并且观测误差 ξ 服从零均值复高斯分布，实部和虚部互不相关，实部和虚部的协方差矩阵均为 ，则 z ～ ，此时无偏估计 的误差相关矩阵CRLB ^[14，15] 为

2.3.7 定位误差表征方式比较

对定位误差的不同表征方式总结如下。

（1）RMSE、MSE、CEP是标量，GDOP是一个无量纲正数，ECM和CRLB是矩阵，EE、CP1和CP2是与概率有关的椭圆区域；RMSE、MSE、ECM和GDOP只需要二阶矩，不需要知道误差分布函数，也不限定无偏估计，EE、CP1和CP2仅适用于估计误差为零均值高斯分布，CRLB 适用于分布密度函数已知的无偏估计，CEP 不限定估计的概率分布，比较适用于无偏估计。

（2）当定位估计服从无偏高斯分布时，RMSE与CEP有简单的近似换算关系，虽然都是标量，但是CEP有比较明确的几何与统计含义。RMSE与CEP是理论研究和试验分析中常用的定位性能指标。

（3）在估计误差为零均值高斯分布情况下，ECM与EE有类似的几何含义，EE还具有概率意义，对ECM作特征分析，可以从特征值之间的比值寻找改进定位精度的途径，如减小某一参数测量误差，或调整观测站位置来提高定位精度；在一定条件下GDOP与参数测量误差弱相关，GDOP等值线有助于针对性调整观测站分布，通过减小GDOP值提高定位精度。

（4）在定位估计服从高斯分布的情况下，EE表示均值和协方差已知时估计落入特定椭圆内的概率，而CP1和CP2则表示均值未知时随机椭圆包含真实位置的概率。一定条件和意义下，椭圆越小，估计误差越小。

（5）CRLB 对评判估计性能有重要意义。达到 CRLB 的无偏估计，表明相关算法误差在某种程度上已达最小，即使对有偏估计CRLB也可以用于比对参考 ^[3] 。

上述定位误差表征的特点与应用分析如表2-1所示。

[1] 为简便，无混淆时用 x 表示辐射源位置 x _T 。

[2] 指偏差很小且可以忽略的情况，本书后续提到对辐射源位置的无偏估计都按此理解，严格意义上不存在位置无偏估计 ^[5] 。

[3] 对于有偏估计，一般情况MSE大于tr[ I ^-1 （ x ）]。 U9AVpzVosNAq8dhi0KOcYQwkpPYUuzeBxmKs5dOdDZ7iK8PWjyuyhbV4U4oPhN1M