GARCH模型族与交易

最简单的预测模型是假设未来 N 天的波动率与前 N 天相同。数学公式如下：

这有两个主要问题。首先是“窗口效应”，即一个大的单一回报会影响 N 天的波动率计算，慢慢地该回报会从样本中移出。这就造成了波动率测量的跳跃性，从而造成预测的跳跃。图3-1给出了一个示例，我们计算了2019年6月15日～2019年9月30日Maximus公司（MMS）连续30天的收盘波动率。

该股票通常的日波动约为0.7%，但在2019年8月8日，它因公司盈利而跳涨12%。这导致30天波动率从17.8%跃升至39.3%。30天后，该盈利日不再计算在内，波动率再次下降到23.3%。如果我们知道哪些事件是异常值，我们可以通过从数据中剔除它们来避免这个问题。我们可以直接把盈利日的当日收益率剔除。

更大的问题是，这种方法没有考虑波动率聚类。波动性极高或极低的时期将仅持续很短的时间。指数加权移动平均值（EWMA）模型考虑了这一点。由此，方差逐步演变为：

λ 的取值通常在0.9～1。

GARCH模型族扩展了这一思想，允许均值回归到长期方差，GARCH（1,1）模型（这样称它是因为它只包含一阶滞后项）是

α 、 β 以及 γ 总和为1， γV 是长期方差。

GARCH一方面改进了未来的波动率和过去一样的简单假设，但在另一方面作为一种预测方法它也被高估了。GARCH模型捕捉到了波动率的本质特征：明天的波动率可能会接近今天的水平，而长期的波动率可能会与历史长期平均水平持平。一切介于两者之间的都是插值（interpolation），GARCH模型族因插值不同而各有不同。例如，图3-2显示了利用GARCH（1,1）和GJR-GARCH（1,1）计算的2019年8月1日SPY预期波动率的期限结构，这也解释了正收益和负收益的不对称性。这两个模型都是根据过去四年的日收益，利用最大似然估计（MLE）算出来的。

从实践的角度来看，这种差异是可以忽略不计的。这就是导致GARCH模型泛滥的原因。模型都大致相同，没有一个模型明显优于其他模型。在任何情况下，如果有许多竞争性的理论，那么说明所有理论都是不好的。薛定谔方程仅有一个，它表现得很好。GARCH模型有成千上万的变形，没有一个表现得很好。

实际上，事实表明GARCH模型的预测效果并不会比简单的EWMA模型更好，并且大多数专业交易员不愿意使用GARCH模型。部分原因在于最大似然估计参数的不稳定性，这些参数每周都会有很大的变化。此外，最大似然估计需要大约1000个数据点才能得到一个好的估计。这意味着，如果我们选择使用每日数据，我们的预测将使用4年前的信息，这并不是好事。

但是有一种实用的方法可以将EWMA的稳健性和GARCH所允许的长期均值回归结合起来。当交易员使用EWMA时，他们随意选择衰减参数，而不是根据历史数据进行拟合，并使用最大似然估计。我们可以用GARCH做同样的事情。选择一个模型，选择参数，并持续使用它。这意味着，最终我们可以培养出直觉，通过模型来“观察”市场。对于指数，选择0.9范围内的 α 和在0.02～0.04的 β 似乎是可行的。 aB1SPgJf7EObJP636mO86DM45jZsCN0vcXl3obXZTmo9832sGJN/Eihg4Rb4/KCM