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整体而言，传统RIM系统的控制策略，可以直接或经过改进后应用于LIM系统，具体情况视应用场合与控制需求而定。相对传统RIM控制方程，LIM最大的特点在于：因受端部效应影响，电机互感是电机运行速度、转差、频率、结构参数的函数，呈现出高阶、非线性、强耦合的变化特性 [45-46] 。除此之外，LIM的次级电阻在不同工况下也呈现出一定的非线性变化。本节将从控制角度出发，归纳介绍LIM典型的控制方法，具体如下。
早期投入运行的LIM轨交系统大多数采取转差频率控制，即将转差频率设定为一恒定值，电机的输出推力基本与电流二次方成正比，那么只需对电流幅值进行控制便可实现推力控制，控制框图如图1-9所示。文献[47]详细介绍了实际LIM牵引系统转差频率控制方式：在电机速度低于12m/s的时候，转差频率控制在5Hz；如果速度进一步上升，由于逆变器输出电压限制，给定转差频率也会跟着线性增加。整体而言，该方法简单易行，但需选择合适的转差频率。若转差频率选择不准，在相同输入电流下，电机出力将会减小，从而降低驱动系统的整体效率。
图1-9 LIM转差频率控制框图
和RIM类似，LIM的矢量控制如图1-10所示，包括直接磁场和间接磁场定向控制，其中前者通过次级磁链观测器获取准确的磁链角度，进而对LIM进行解耦控制，如图1-10a所示；而后者则通过计算转差频率获得同步角频率，进而积分获取磁链角度，如图1-10b所示。在稳态工况下，LIM直接和间接磁场定向方式的效果大致相同；然而，在动态过程中，因转差频率求解公式不再适用，为此间接磁链定向获取的磁链角度将会出现偏差。通常情况下，矢量控制与转差频率控制类似，即在稳态下均只对LIM转差频率进行控制。但是矢量控制可通过改变次级磁链来调节转差频率，无需将其设置为固定值。因此，矢量控制方法适用范围更广，控制效果更好，同时还可结合最小损耗控制策略等，通过调节LIM励磁水平来提高电机系统的运行效率等 [48-50] 。
图1-10 矢量控制框图
通常而言，电流环参数整定过程中，一般采用固定PI参数，其电流内环传递函数框图如图1-11所示。根据传递函数，通过零极点配置方法，可对PI调节器的比例和积分系数进行设计，其表达式为 [51]
式中，
ξ
为控制器阻尼系数；
ω
n
为控制器带宽；
。
根据式（1-1）可知，PI参数的整定过程与电机实际运行工况相关：对于RIM，除受电磁饱和及温度影响外，电机参数基本不变，因此对应的PI参数基本恒定；然而，LIM中参数变化较为剧烈（受边端效应影响等），若PI参数仍设为恒定值，则难以满足实际工况需求。除此之外，单纯采取PI调节器，无法消除 dq 轴电流耦合现象，尤其动态过程中交叉影响较严重。同时，在实际数字控制器实施过程中，PI控制器难以消除计算延迟带来的影响，有时会恶化系统控制性能。同时，矢量控制通常采用空间矢量调制（Space Vector Modulation，SVM）来产生驱动脉冲，采样频率与开关频率相同，如所需开关频率较低，则对应的采样频率也较小，从而进一步放大了计算延迟所带来的负面影响。
图1-11 电流内环传递函数框图
为了能够提高电机的动态响应能力，直接推力控制采取基于初级磁场定向的方式，直接对电机初级磁链以及输出推力进行控制，其控制框图如图1-12所示。根据迟滞比较器判断的结果，结合离线开关表，合理选出满足当前需求的电压矢量作为输入控制量。由于一个采样周期内只作用一个电压矢量，因此该方法的开关频率会比较低，适合于大功率LIM驱动场合。文献[52，53]详细分析了直接推力控制对LIM运行特性的影响：该方法不依赖电机参数，比较适宜LIM驱动系统，具有较强的鲁棒性。然而，相比矢量控制，因开关表内所选择的电压矢量数量有限，导致控制精度不高，磁链和推力波动较大。为减小电机输出推力波动，相关学者对离线开关表进行了优化，所采用的迟滞比较器也更加灵活，能够输出的判定结果更加丰富，从而选出更加精确的电压矢量。除此之外，有学者将该方法与电压矢量调制相结合，即一个采样周期内作用多个电压矢量，从而增加电压矢量调制精度，有效减小磁链和推力波动。
图1-12 直接推力控制框图
最小损耗控制（亦称“效率优化控制”）是一类基于电机系统参数或测量反馈等信息，通过合理调节磁链、电压、电流、转差等变量，以实现电机系统损耗降低、运行效率提升的控制方法 [54-56] 。
最小损耗控制的研究可追溯至1977年，美国工程师F.J.Nola在专利 [57] 中提出一种根据事先制定的工作表来调整感应电机运行功率因数的方法，从而可间接降低电机损耗。1983年，T.W.Jian与N.L.Schmitz等学者提出一种通过控制感应电机转差来降低损耗的方法 [58] 。同年，美国学者A.Kusko提出在开环控制系统中调整RIM定子电压与频率以降低电机损耗的方法 [59] 。1984年，韩国学者H.G.Kim等人 [60] 通过分析RIM定子电流与转差频率之间的关系，提出通过调节定子电流与转差频率来控制电机气隙磁链，从而降低电机损耗，同时还分析了电机动态性能下降等问题。此后30余年，最小损耗控制技术迅速发展，涵盖不同种类电机、不同运行工况和诸多控制方法。
总体而言，最小损耗控制可分为两大类 [54] ：离线法与在线法，如图1-13所示。具体阐述如下。
图1-13 最小损耗控制分类
离线法包括结构法和预设法，其基本思路均是预先选取电机最优工作点（如不同转速下的最优定子电流值），制定电机工作表，运行时查表获取相应控制量，从而降低损耗。不同的是，结构法通过电磁分析获得电机最优工作点，而预设法则通过不同工况下的实验测试来获取最优工作点。由于没有任何附加计算量，离线法可在任意控制系统中轻松实现，但因需对每台电机进行预先计算或测试，面临计算量大、灵活性差等问题，难以得到大规模应用。为此，离线法多见于早期研究，而随着控制处理器运算能力提升和成本下降，在线法逐步成为行业关注的重点。
在线法通过在线监测电机系统运行状态（如转速、转矩、电流或输入功率等），实时计算和调整最优控制量（电流、转差或磁链等），从而降低损耗、提升效率等指标。根据不同技术原理，在线法可分为模型法和搜索法。模型法可基于电机系统的损耗模型和参数，寻找最优解来实现最小损耗；搜索法则利用迭代算法不断调整控制量（如磁链），并实时监测输入功率，直至输入功率达到最小。根据不同应用工况，在线法又可分为稳态法和暂态法：前者对应电机稳态运行工况，即恒定速度、恒定负载等；后者则对应速度或负载变化的情况。
自20世纪80年代以来，针对常规RIM系统的在线最小损耗控制发展迅速，各类损耗模型、迭代方法层出不穷。而受特殊物理结构及边端效应等影响，LIM系统的损耗模型更为复杂，获得最优控制量的难度更大：尤其搜索法的收敛速度难以满足多维复杂方程的在线求解要求，为此迄今学术界对LIM系统在线最小损耗控制的研究较少。
为此，本节将从模型法角度，全面介绍和对比RIM与LIM系统的在线最小损耗控制策略，并对其关键问题进行归纳总结。
利用模型法实现最小损耗控制的基本思路为：
1）选取合适的电机系统等效电路或数学模型。
2）分析电机系统损耗情况，推导并建立相应的损耗模型。
3）根据损耗模型选取合适的控制量，并求解获得最优解。
4）借助其他控制方法（如标量控制、矢量控制等）实现最优解控制，继而实现电机系统的最小损耗控制，其基本控制框图如图1-14所示。分析可知：模型法的核心是损耗模型，其控制效果直接受损耗模型的准确度影响。因此，在准确获取电机参数（离线测试或在线辨识）的前提下，如何建立精准且实用的损耗模型，是模型法研究的关键所在。
基于图1-15所示的传统RIM串联铁损电阻式的单相等效电路，文献[61]将电机损耗表征为关于转差率的函数。接下来采用数值法求解最优转差，并基于标量控制实现电机效率优化。实验结果表明，电机效率提升效果在轻载下更加明显。在带动25%额定负载时，电机效率可提升7.5%。图1-15和后文电机等效电路中主要参数符号见表1-1。
图1-14 模型法基本控制框图
图1-15 RIM单相等效电路（串联铁损电阻式）
表1-1 等效电路中主要参数和符号
基于图1-16所示的RIM并联铁损电阻式的单相等效电路，文献[62]将电机损耗表征为关于电压、频率和负载转矩的函数。接下来采用遗传算法，获得给定负载下电机的最优电压和频率，并以标量控制为框架降低电机损耗。实验结果显示，电机负载在0～50%的范围变化时，效率和功率因数仍能分别保持在80%和0.8附近。在轻载时，电机损耗最高可降低60%。
图1-16 RIM单相等效电路（并联铁损电阻式）
文献[63]提出了气隙磁链为中间变量的RIM的 dq 轴等效电路，如图1-17所示。文献[64]将定子铜损、定子铁损和转子铜损等表示为转差频率函数，借助数值方法得到最优解，并通过矢量控制降低了相关损耗。
图1-17 气隙磁链为中间变量的RIM的 dq 轴等效电路
文献[65]在单相等效电路的定子支路串联一个电阻来表示杂散损耗，如图1-18所示，并将电机损耗表征为励磁磁链函数。该算法实用性较强，可直接得到使电机损耗最小的励磁磁链解析解。虽然该方法基于RIM损耗模型，但其实现不需要损耗模型表达式，仅需测量定子电流即可得到最优磁链值，进而不会显著影响驱动器成本。整体而言，该方法可应用于开环和闭环控制，适用范围较广。
图1-18 RIM改进单相等效电路（考虑杂散损耗）
文献[66]也提出了与图1-18相同形式的等效电路。基于功率平衡原理，详细推导了考虑空间谐波的杂散损耗电阻表达式，通过空载和负载测试，即可得到杂散损耗电阻值。
文献[67]提出了转子磁场定向下RIM的 dq 轴等效电路，如图1-19所示。在忽略定转子漏感的前提下，将电机损耗表征为定子电流函数，并得到最优的定子 dq 轴电流分量比值。同时，该文还分析了损耗模型对各参数的敏感性，指出次级电阻对损耗降低效果影响最大。
图1-19 转子磁场定向下RIM的 dq 轴等效电路
文献[68]考虑了定转子漏感，认为励磁支路的电流远大于铁损支路；为简化损耗模型，将铁损支路从 dq 轴等效电路中提取出来，如图1-20所示。
图1-20 RIM简化 dq 轴等效电路
文献[69]首先以转子励磁电流为状态量得到改进型 dq 轴等效电路，如图1-21所示。在此基础上，引入漏感系数，将定子和转子漏感等效成单个电感，在保持一定准确度的前提下，较大地简化了电机损耗模型。
图1-21 RIM改进 dq 轴等效电路
文献[70]在图1-4所示的单相等效电路基础上，考虑了铁心饱和对电机损耗的影响，将励磁电感、铁损电阻表征为定子磁链的非线性函数。实验结果表明，最小损耗控制不仅能改善轻载时效率，亦能对过载工况下的磁链及效率进行灵活调节。
在小功率变频调速电机系统中，逆变器运行效率相对RIM来说较高，因此通常不考虑逆变器损耗。但在轨交等大功率牵引系统中，随着输出电压或电流的增大，其逆变器的损耗不能简单忽略。文献[71]综合考虑了时间谐波引起的RIM铜损、杂散损耗、风磨损耗、变频器导通和开关损耗等，并且考虑了励磁电感饱和效应、趋肤效应和温升对转子电阻影响等因素，建立了较为全面的RIM损耗模型。
简单而言，理论上LIM可直接采用上述RIM损耗模型及控制方法。然而，因气隙大、初级铁心开断、端部半填充槽等特点，LIM内部磁场变化更加剧烈，各种参数交叉耦合更为严重，其损耗模型和控制方法更为复杂。为提高电机效率，亟需深入研究并明确LIM及系统的损耗模型。
在Duncan提出的LIM等效电路基础上 [13] （见图1-22），文献[72]以初级电流为控制变量，推导铜损、铁损和由端部效应产生附加损耗组成的电机损耗模型。通过实验测试，在速度为0.75m/s的低速工况下，电机的损耗仍能降低22%。
图1-22 LIM单相等效电路
基于如图1-23所示的LIM不等 dq 轴等效电路，文献[73-75]以定子电流为控制变量，推导了考虑纵向边端效应因素的损耗模型。该损耗模型与文献[67]中的模型类似，因而其最优初级电流求解方法也相同。基于同一等效电路，文献[76]则以次级磁链为控制变量，推导了电机损耗模型及使损耗最小的磁链解析解。
图1-23 LIM不等 dq 轴等效电路
由于LIM特有的大气隙和初级开断结构，其励磁电感较同功率RIM更小，导致初级漏感与励磁电感的比值较大，对电机损耗有一定影响。如图1-24所示，文献[77]将铁损电阻置于初级漏感之前，以衡量初级漏感产生的损耗，并推导了改进的损耗模型。对一台弧形感应电机的实验测试结果表明，相对传统损耗模型，改进的损耗模型准确度更高，能更客观地反映电机的牵引特性。此外，与传统矢量控制相比，基于改进损耗模型的最小损耗控制能显著降低电机损耗，提升不同工况下的电机系统效率。同时，采用该控制策略后，LIM的动态特性没有受到明显影响。
图1-24 含铁损的LIM dq 轴电路
文献[78]提出了如图1-25所示的LIM等效电路，通过引入四个修正系数来衡量纵向和横向端部效应的影响。基于该电路，文献[48]推导了考虑初级漏磁影响和逆变损耗的损耗模型。当逆变器损耗引入后，LIM驱动系统损耗最小时的最优次级磁链难以直接计算，可采用3～4次数值迭代获取。实验测试显示，相较于传统最小损耗控制，提出的方法可使电机损耗、逆变器损耗和驱动系统总损耗分别降低约3%、12%和4%。此外，LIM的动态试验结果显示，提出的方法能满足电机在大部分动态工况下的响应需求。
图1-25 改进型含铁损电阻LIM dq 轴电路（同时考虑漏感损耗）
在最小损耗控制中，法向力也是不可忽视的一部分，其数值可达推力的5倍以上，会显著增大直线电机及车体的视在重量，从而产生额外损耗。为考虑法向力的影响，文献[79]将法向力引起的摩擦力与电机损耗同时作为优化目标。为了统一法向力和损耗量纲，文献[80]则选择将动子速度和法向力的乘积作为目标函数的一部分，通过引入和调整法向力的权重系数得到不同的优化效果。
针对动态运行工况，文献[81]提出了LIM动态损耗模型，通过求解优化目标函数的欧拉-拉格朗日方程，得到了近似的最优次级磁链轨迹。实验结果表明，电机在动态运行过程中的损耗降低了4.8%，并且动态性能没受到明显影响。
针对边端效应引起的参数剧烈变化等问题，传统控制方法难以进行有效的补偿及调节，从而导致LIM运行性能不佳。因此，本书对模型预测控制（Model Predictive Control，MPC）进行了研究：通过结合LIM等效电路模型，提出对应的边端效应补偿方法。MPC是Richalet等 [82] 于1978年提出的一种控制算法，其雏形早在20世纪60年代末已在法国工业生产的锅炉和蒸馏塔的控制中得到应用。换言之，该算法起源于实际工业应用场合，在工业界解决了实际问题之后，才有了后续相关的理论研究，其宗旨在于解决传统PID控制不易解决的多变量含约束条件控制问题。由于MPC需要大量的在线计算来求解最优控制量，起初只适用于化工生产等实时性不强的应用场合，从而保证有足够的时间来进行运算。随着微处理器的快速发展，一些计算能力较强的处理器芯片如DSP、FPGA、ARM等，被逐渐应用到实际电机控制系统中，从而给MPC的实现创造了较好条件。
2000年以来，众多电机和电力电子专家对MPC开展了大量的理论及实践研究，其代表学者包括智利工程院院士José Rodríguez、德国学者Ralph Kennel等 [83] ，他们不断尝试将MPC运用到不同的电机和电力电子系统中，包括DC/DC变换器控制 [84] 、矩阵变换器控制 [85] 、高压直流输电控制 [86] 、静止无功补偿器控制 [87] 、整流器和逆变器控制 [88-89] 、新型电机控制 [90-91] 等。因算法流程易懂，目标函数设计灵活，MPC对多目标控制较为方便，近年来受到学术界和工业界的广泛重视。
为充分发挥MPC算法的优势，众多专家结合实际系统，对不同的MPC算法进行了改进和优化，有些算法相互融合，取长补短，逐步形成了一些分支。通过大量文献调研，MPC算法可划分为不同种类，如图1-26所示 [92] 。总的来说，MPC可分为有限控制集模型预测控制（Finite Control Set MPC，FCS-MPC）和连续控制集模型预测控制（Continuous Control Set MPC，CCS-MPC）两大类。FCS-MPC一个采样周期内只作用一个电压矢量，所以开关频率较低且可以调节，适用于开关频率不高的大功率驱动场合；它可以将求解结果直接送给变流器，无需调制算法 [93] 。该算法可进一步细分为：最优开关矢量模型预测控制（Optimal Switching Vector MPC，OSV-MPC）、最优开关序列模型预测控制（Optimal Switching Sequence MPC，OSS-MPC）以及图解模型预测控制（Explicit MPC，EMPC）等类型。OSV-MPC在电力电子及电机控制应用场合最为流行，它直接通过枚举变流器所有的开关状态进行评价，从而选择出一个最优的开关状态 [94-95] 。相比OSV-MPC只对某一时刻开关状态进行优化，OSS-MPC可对一段时间内的开关序列组合进行优化，从而可以获得更加合理的电压矢量 [96] 。同时，该算法也可以结合特定谐波消除脉宽调制策略 [97] ，根据电机当前运行状况，对离线求得的开关脉冲序列进行修正 [98] 。EMPC是一种比较直观的MPC求解方法，即当最优解无法用公式表达的时候，该方法通过对被控状态形成的区域进行划分，穷举所有可能的情况，之后将每种情况下的解逐一求解出来，在不同区域下进行标识，最后通过对区域的判断将最优解搜索出来。整体而言，该方法是一种离线求解方法，需将求解结果保存在一张表格当中，以方便控制器在线搜寻出最优解。对于FCS-MPC来说，由于控制量的输入是离散的，求解结果无法用一个完整的表达式来表示。因此，当控制对象较为复杂时，FCS-MPC会加大在线求解难度，而EMPC可将部分计算量离线完成，从而减小在线计算负担 [99] 。
图1-26 MPC算法分类
CCS-MPC需要结合调制算法将求解的结果调制后送给变流器驱动，开关频率较高且固定，适合于对控制精度要求较高的应用场合 [100] 。目前，该算法可分为三种不同类型，分别为：广义预测控制（Generalized Predictive Control，GPC）、无差拍控制（Deadbeat Control，DBC）、EMPC等。GPC根据控制对象的传递函数进行建模并对被控变量进行预测，通过优化目标函数求解出最优控制量。该方法的求解结果有固定的表达式，在线计算量较小，方便增加预测步长，然而表达式的推导过程较为复杂 [101] 。DBC通过对控制对象的状态方程求逆获得输入控制量，在理想情况下，被控量能够很好跟踪上给定指令，两者之间不会出现延迟。该方法虽然能够获得比较优越的控制性能，但是控制目标较为单一，一般只考虑控制对象的跟踪性能，无法同时考虑多个控制目标以及约束条件 [102] 。当CCS-MPC控制目标较多且含有约束条件的时候，求解过程将会变得非常复杂，难以用准确的表达式来描述。此时，可以采用EMPC，通过离线穷举的方法，将求解结果表示出来。然而，当求解结果较为复杂时，将消耗大量的储存空间来存储离线计算结果 [103] 。表1-2对各种不同预测控制算法特点进行了分析总结。
表1-2 不同预测控制算法特点
不同类型MPC执行过程虽然会有些不同，但它们的求解本质都是对目标函数进行优化。为了能更进一步了解MPC的研究现状，下文将分别对MPC存在的问题和当前研究热点进行详细阐述。
对于FCS-MPC来说，一个开关周期内只作用一个电压矢量，较低的电压调制精度会导致电流脉动增大。因此，为提高这类算法的控制性能，一方面可以提高其采样频率，缩短开关周期，但也对微处理器性能提出了更高要求；另一方面，可结合电压矢量调制策略来提高调制精度。目前，大多数文献都采取与双电压矢量调制相结合的方式。不同于传统SVM以及脉宽调制（Pluse Width Modulation，PWM）算法，该调制算法一个采样周期内最多只用两个电压矢量，在较少增加开关频率的同时有效提升了电流质量，如图1-27所示。
图1-27 双电压矢量调制示意图
为简化起见，相关学者通常采取固定电压矢量组合方式，即非零和零电压矢量组合方式 [104-107] 。该类组合只能改变非零电压矢量的长度，而对两电平逆变器来说，其调制策略对应的电压矢量分布如图1-28所示。在该情况下，通过优化目标函数值，可求解出最优电压矢量组合和电压矢量间的最优占空比，其表达式为
式中， d 为占空比； s 0 为零电压矢量作用下的变化率，且 s 0 = Ax + B u 0 ； s 1 为非零电压矢量 u 1 作用下的变化率， s 1 = Ax + B u 1 。
图1-28 非零和零电压矢量组合方式合成电压矢量分布
然而，当控制目标量纲不一致时，需要对目标函数中的权重系数进行调节。若采取式（1-2）进行计算，最优占空比和系统性能将依赖于权重系数，例如对于模型预测转矩控制来说，需要不断调节权重系数以优化转矩和磁链跟踪性能之间的比重。此时，为使最优占空比不受权重系数影响，可以只对转矩或磁链跟踪性能进行优化，其求解方程为 [108-111]
式中， s t 1 和 s t 0 分别为非零和零电压矢量作用下的转矩变化率； s ψ 1 和 s ψ 0 分别为非零和零电压矢量作用下的磁链变化率。
然而，采取式（1-3）方式求解的占空比，难以将转矩和磁链跟踪性能同时考虑进去。因此，一些文献通过合成虚拟电压矢量的方式，增加待选电压矢量个数，从而提高控制精度，如图1-29所示 [112-114] 。之后，FCS-MPC可以利用目标函数对每一个待选电压矢量进行评价，选择出最优电压矢量，从而保证求解过程能同时兼顾转矩和磁链控制目标。然而，当合成虚拟电压矢量数目上升时，会明显增加算法的计算量。合成虚拟电压矢量方法与双电压矢量调制类似，仅将占空比取为离散值，其合成方法如下：
式中， V act 和 V 0 分别为非零和零电压矢量； n 为所需合成电压矢量个数。
图1-29 合成虚拟电压矢量分布
根据式（1-4）可知，该方法的待选电压矢量都是提前合成好的，其组合不仅可选取非零和零电压矢量组合 V syn 1 ，还可选两个非零电压矢量组合 V syn 2 。当合成电压矢量数目增多时，控制效果将变好，但计算量会有所增加。
除此之外，一些学者对传统双电压矢量调制进行了改进，不再对其组合方式进行限制，即任意选择两个电压矢量进行组合 [115-118] 。然而，相比非零和零电压矢量组合的调制策略，该方法将进一步增加电压矢量的组合数量，比如对两电平逆变器来说有7×7=49种。为此，在实际应用中，该方法必须根据具体需求进行简化处理。为了进一步提高算法的控制性能，一些学者继续增加开关周期内作用的电压矢量，即将三电压矢量调制策略与MPC相结合 [119-121] 。三电压矢量调制策略与SVM类似，可以产生逆变器输出电压范围内的任意电压矢量，同时改变电压矢量的长度和角度。然而，这两种调制策略计算占空比的方式有所区别：SVM根据给定电压矢量，计算出开关周期内各电压矢量的作用时间；三电压矢量调制策略因与MPC相结合，其占空比需通过优化目标函数获得，其求解方式为
式中， s 1 、 s 2 和 s 0 为不同电压矢量作用下的变化率。
因此，MPC与三电压矢量调制策略相结合，其占空比的求解过程与控制对象的运行状况紧密相关。与SVM不同，该方法将占空比限制在0～1之间，可以确保求解结果自动满足逆变器的输出电压限制，无需对电压采取单独限幅操作。当电压矢量满足逆变器输出电压限制的情况下，SVM与三电压矢量调制策略求解结果相似。然而，当求解结果超出逆变器输出限制时，SVM会对输入电压矢量粗略地进行限幅以满足相关约束条件，从而会影响算法的控制性能 [122-124] 。
在实际控制系统中，为降低算法的复杂度，MPC通常为单步预测，意味着求解结果只在某一个时刻点为最优。然而，如果增加预测步长，则可对某一时间段内的轨迹进行优化，因此，相关求解结果能够考虑未来多个预测时刻点之间的相互影响。当MPC预测步长增加时，其目标函数为
通过对式（1-6）进行优化，可以求解出未来一段时间内的控制量序列 U =( u k +1 ，…， u k + N )。然而，由于模型参数不准、外部扰动等因素，求解出的控制量序列往往不能够全部作用到系统中。因此，一般选取第一个控制分量 u k +1 作用于控制对象，下一个时刻则需重复之前的计算过程。随着时间推移，预测时域将不断向前滚动，所以该方法也被称为“滚动时域优化”，如图1-30所示。通常而言，滚动时域优化能够顾及参数失准和外部扰动等影响，及时弥补偏差影响，输入控制量序列在每个时刻都在不断更新。该方法所求解的输入控制量是未来一段预测时间内的优化结果，并不仅是某一时刻点的优化值。然而，由于每个时刻都要对一段时间内的预测轨迹进行优化，当增加MPC预测步长时，该算法复杂度将会大幅度提升，其求解难度也会加大。
图1-30 多步长MPC滚动时域优化
当不考虑任何约束条件时，多步长CCS-MPC的最优解表达式为
式中， U k 为最优控制量序列； R k 为给定值序列； D k 为常数项；变量 K 和 M 与预测步长有关。
在此情形下，增加预测步长即是改变式（1-7）中的某项系数，其推导过程虽然复杂，但是并不会增加该算法的在线计算量 [125] 。因此，近年来学者们通过增加CCS-MPC的预测步长，来研究其对MPC控制性能的影响 [126-127] 。然而，当考虑约束条件时，该方法最优解表达式将会变得非常复杂，且形式不唯一，需要分情况讨论。因此，在实际应用中，上述方法一般会忽略约束条件对求解带来的影响，例如：当控制对象为变流器时，通常假设求解的电压矢量能满足变流器输出电压限制。除此之外，该方法无法对开关频率进行调节，需要和SVM结合产生驱动脉冲，且开关频率较高。
为了能够满足大功率低开关频率的应用场合需求，文献[128-130]对多步长FCS-MPC算法进行了相关研究，发现其电压矢量序列数量与预测步长成指数关系：对于三电平变流器来说，当预测步长为 N 步时，所需评价的电压矢量序列为27 N 个。目前，该问题的求解方法只能在线枚举所有可能的电压矢量序列，然后代入到式（1-6）进行评价，最终找到使得目标函数值最小的最优电压矢量序列。为了能够获得较长的预测时域，文献[131]通过轨迹扩展的方法来增加预测步长，即在一段时间内保持控制量不变，预测该时间段内的轨迹变化，当达到规定边界时，再考虑控制量的变化。这种方法可以很容易获得较长的预测区间，然而相比单步预测方式，计算量仍然很大。因此，对于FCS-MPC来说，由于缺乏有效的简化方法来大幅减小多步长预测下的在线计算量，目前大部分应用场合仍然选择单步预测方式。
由于FCS-MPC没有显式解，需要在线逐一评价所有可能的情况，从而选出使目标函数值最小的控制量，因此其在线计算量十分巨大。此外，FCS-MPC的复杂度与控制对象相关，例如：两电平变流器需要枚举7种不同电压矢量，而三电平变流器则需要考虑27种。相比CCS-MPC算法，在考虑约束条件前提下，FCS-MPC可更加灵活地与不同调制策略相结合。
为减少在线计算时间，一些学者结合实际控制对象的需求，对上述算法进行了简化。通过减少待选电压矢量的数量，FCS-MPC可以明显降低算法计算量，具体方式分为：附加约束条件排除法和参考电压矢量排除法。附加约束条件排除法主要通过对控制对象额外附加一些控制性能的要求，提前将一些不满足要求的电压矢量排除掉，例如：对相邻采样周期内开关次数进行限制，从而排除一些开关次数较多的电压矢量 [132] 、结合开关表将一些会导致转矩和磁链波动较大的电压矢量提前排除掉 [133] 等。参考电压矢量排除法通常结合DBC策略，首先求解出一个不含任何约束条件下的参考电压矢量，并根据预测模型求出参考电压矢量表达式为
式中， r k 为给定值。
进一步通过推导证明，文献[134]将目标函数改写为
因此，根据式（1-9）可知，目标函数值与待选电压矢量和参考电压矢量间的距离有关，离参考电压矢量距离最近的待选电压矢量为最优电压矢量。根据这一结论，通过对扇区的判断可很快选出最优电压矢量 [135-136] 。另外，当目标函数考虑多个控制目标时，一般会选取主要目标首先计算出参考电压矢量，然后排除部分电压矢量，而剩余的电压矢量需交给目标函数做进一步评价 [137-138] 。
当FCS-MPC与任意双电压矢量调制相结合时，需要确定最优电压矢量组合和占空比。然而，由于待选电压矢量组合数量庞大，难以采取穷举法求解。为减少在线计算时间，大多数文献通过提前排除部分电压矢量组合方式来降低算法复杂度，其思路和前述FCS-MPC简化方法类似。文献[115]忽略电压矢量组合顺序，对可能的电压矢量组合进行分析，将数目由原来的49个减少到25个。文献[116-117]根据求解的参考电压矢量，通过扇区判断的方式将电压矢量组合数减少到2个。文献[118]通过推导发现，占空比最大的矢量组合为最优电压矢量组合：该方法只需计算三个不同电压矢量组合的占空比，最终确定占空比最大的矢量组合为最优解。
前面所提到的简化求解策略均只适用于单步预测情况，而当FCS-MPC预测步长增加时，由于算法复杂度急剧提升，上述方法均不再适用。虽然FCS-MPC结合电压矢量调制策略能够减少电流脉动，但增加了变流器的开关频率。因此，在大功率低开关频率的应用场合，更宜采取多步预测方式来提高电流质量，同时不会增加开关频率。然而，因计算量大等问题，迄今为止，多步长FCS-MPC尚未在实际系统中得到广泛应用。为此，一些学者提出了对应的简化措施，如分枝界定（Branch and Bound，BAB）法 [131] 和球形解码算法（Sphere Decoding Algorithm，SDA） [128] 。这两种简化方法的思路大致相同，类似于在线动态淘汰的思路，具体执行过程为：将目标函数当前最小值与待评价电压矢量序列的目标函数值做比较，如果小于最小值，则继续搜索；如果大于最小值，直接将其舍弃，并开始搜索下一个序列。对于BAB法来说，简化效率与序列搜索顺序相关：若开始就能将最优电压矢量序列搜索到，那么所获目标函数值将会足够小，便可将大部分电压矢量序列提前排除掉，具体执行过程如图1-31所示。由该图可知：在逐一对电压矢量序列进行评价时，该方法会与当前时刻所获最小函数值进行比较，判断搜索是否继续。如果将一个电压矢量序列搜索完，获得目标函数值小于当前最小值，则进行替换更新。因此，如果开始找到的目标函数值很小，那么对其他电压矢量序列而言，很可能只评价前几个矢量便可被淘汰，从而减小其搜索深度，修剪更多枝叶，进而大幅缓解该算法的在线计算负担。
图1-31 分枝界定法示意图 [131]
另一方面，SDA与参考电压矢量排除法类似：假定输入电压矢量为连续且不考虑约束条件，推导出一个最优电压矢量序列，其表达式为 [128]
目标函数可进一步改写为
因此，目标函数值与待选电压矢量序列和最优电压矢量序列之间的距离相关。不同于式（1-9）的单步长情形，式（1-11）是在一个多维空间内求解距离，因此无法通过划定区域来搜索出最优电压矢量序列。在此情形下，只能够对电压矢量序列里的每一个电压矢量进行评价：通过与当前获得的最短距离比较，如果求解距离大于最短距离，那么搜索将会停止，开始搜索下一电压矢量序列。类似于一个限定范围的多维空间球体，该方法只对该球体内部的电压矢量序列进行评价，而球体外部的矢量将被全部排除。因此，该方法的简化效率与球体半径的选择相关：如果球体半径足够小，那么所需评价的电压矢量序列数量就会减少；但如果球体半径太小，导致球内不含任何电压矢量序列，将会出现无解情况。为提高SDA效率，推测方法（Educated-Guess Method，EGM）和含约束二次优化方法（Box-Constrained Quadratic Programming Method，BCQPM）相继被提出，用以确定合适的球体半径 [139] 。另外，单步长所采取的附加约束条件排除法也被运用到多步长预测的情形下，即通过添加一些约束条件来提前排除一些电压矢量序列：对控制变量波动范围进行限制 [140] ，对开关次数进行限制 [141] 等。
当目标函数含有多个控制目标时，需要权重系数来调节不同目标的重要程度。当控制目标的量纲不同时，不同目标项的数值量级差异很大，会发生大数据吃小数据的情况。例如：对于模型预测转矩控制来说，其目标函数主要含有磁链控制和转矩控制两个不同量纲的函数项，其表达式为 [142]
式中， ψ * 和 T * 代表磁链和转矩的给定值； ψ k +1 和 T k +1 代表磁链和转矩的预测值。
由式（1-12）可知，如果不使用权重系数调节，由于量纲不统一，转矩项数值波动范围与磁链项数值波动范围不在同一个数量级，比如：如果转矩项波动范围在10～50之间，而磁链项在0.01～0.1之间，导致磁链项波动会被转矩项波动所吞没，进而MPC只考虑转矩控制性能而忽略磁链控制。因此，需要加入权重系数来放大磁链项的数值波动范围，使该项值与转矩值处在同一数量级，进而目标函数才能很好地将两个控制目标进行综合考虑。
目前，权重系数的调节过程，多靠个人经验去操作，尚无成熟理论支持 [143] 。针对模型预测转矩控制权重系数的整定问题，一些文献提出了相关简化方法，例如：根据磁链和转矩额定值来计算出权重系数，其表达式为 [144]
式中， ψ n 为磁链的额定值； T n 为转矩的额定值。
然而，该方法求解出的权重系数并不能保证是最优结果；为完全消除权重系数带来的影响，文献[145]通过对定子磁链角度控制来间接调节电机输出转矩，即只需对磁链矢量进行控制，其目标函数可改写为
式（1-14）所包含的两项均是磁链跟踪项，属于同一个量纲的控制变量，因此无需权重系数整定，可直接将其选定为1，以平衡两者的控制优先级。前面所介绍的方法均采取离线整定，选好的权重系数一般都固定不变。然而，最优权重系数会随控制对象的运行状态变化而变化，为进一步提高算法性能，一些在线整定权重系数的方法近年来也被学者纷纷提出。例如：文献[146]通过对转矩脉动的优化来求取最优权重系数表达式，从而通过在线计算方式获得相应的权重系数；文献[147]根据当前转矩和磁链的波动，通过模糊控制算法在线调节权重系数。有学者将磁链控制目标和转矩控制目标分别进行考虑来选择最优电压矢量，其目标函数设计如下 [148] ：
根据式（1-15），先找到使函数值 g 1 最小的前两个电压矢量，之后再将这两个电压矢量送给目标函数 g 2 进行评价，最后选取使得 g 2 最小的电压矢量。因此，该方法通过两次不同目标函数来评价，从而避免磁链和转矩控制目标被同时考虑在一个目标函数中，也就省去了两者之间的权重系数。
通过分别对磁链控制项和转矩控制项进行排序，获得不同电压矢量作用下的排名，即对式（1-15）进行排序，来去除控制目标项的量纲，其表达式为
根据排序，可以进一步将目标函数改写为
根据式（1-17）可知，该方法最终会选择综合排名靠前的电压矢量作为最优电压矢量输出，因此可充分考虑磁链控制目标排名和转矩控制目标排名。由于排名和控制性能相关，排名越低其跟踪误差越小，进而可以去除量纲、省去权重系数 [149] 。
除对模型预测转矩控制算法优化外，一些文献还对含有多个控制目标情形下的权重系数整定过程进行简化，其目标函数为
为简化多目标控制下权重系数整定过程，文献[150]采取模糊多准则决策方法（Fuzzy Multicriteria Decision Making，FMCDM）对目标函数进行改写，从而去除权重系数。最终该方法被运用到矩阵变换器中，其改写后的目标函数为
式中，
μ
i
为无量纲项，且
。
可对每一个控制目标进行线性化处理。与MPC传统优化方式不同，该方法需选出式（1-19）为最大值时的电压矢量作为最优电压矢量。此外，该方法适用于任何情况下的权重系数简化，既可用于前面模型预测转矩控制，也可以用于其他多个控制目标应用场合，其通用性较强。文献[151]设计出根据被控对象动态性能变化的权重系数：当控制目标项对应的性能变差时，则增加相关权重系数来进行有效抑制。虽然该方法同样适用于任意多目标控制场合，但是它需要对每个控制项的三个参数进行整定，即
W
i
、
和
h
i
，其权重系数表达式为
当控制器参数与实际被控对象不匹配时，将影响其实际控制效果，甚至导致系统不稳定。通过被控对象数学模型，MPC可对未来状态进行预测及评价，因此非常依赖被控制对象的实际参数。文献[152,153]深入研究了MPC受被控对象参数变化的影响程度。为提高MPC参数鲁棒性，有学者提出图1-32所示的无模型预测控制算法 [154] ，即根据采样获取不同电压矢量带来的电流变化，其预测模型表示为
图1-32 无模型预测控制算法执行原理示意图
从式（1-21）可知，该方法无需控制对象的预测模型就可预测下一时刻的状态变量，不依赖控制对象的任何参数。然而，之前时刻获得的电流变化并不能完全替代当前时刻，因此该方法必须在较快更新频率下才能获得较好的控制效果。为及时更新某一电压矢量作用下的电流变化率，有学者采取记录方法，即在足够短的时间内作用该电压矢量，记录下电流变化率的最短时刻，从而保证算法的预测精度 [155] 。与之前方法类似，文献[156]在每个时刻采样获取不同电压矢量作用下的预测误差，相关分析认为：在较短时间内，相同电压矢量作用下的预测误差基本一致，可用之前误差预测并修正当前值，其表达式为
式中，
为不同电压矢量下参数不匹配导致的预测误差，可通过预测值和下一时刻采样值间的误差获得。
然而，前面提高参数鲁棒性的方法只适用于FCS-MPC，即输入电压矢量数量有限的情况。当输入电压矢量数量较多时，该方法无法存储所有的矢量作用信息。为提高其他类型MPC参数鲁棒性，一些学者将被控对象参数的变化看作系统扰动，通过加入扰动观测器来提高系统的参数鲁棒性。例如：文献[152]详细分析了永磁同步电机各个参数对MPC的性能影响，同时设计滑模观测器对电感参数变化的影响进行观测，进而提高算法鲁棒性；文献[157]将三相并网逆变器的电感和电阻变化作为系统扰动，通过扰动观测器对其影响进行观测，之后将观测的扰动进行补偿；文献[158]对背靠背变频器的预测模型进行了改进，将开环预测改为闭环预测，使得MPC能够感知参数变化带来的预测误差，从而进行实时校正。
除此之外，一些学者将MPC与在线参数辨识进行结合，通过对一些重要参数的辨识来提高预测准确度。例如：文献[159]采取梯度校正法对整流器电感进行在线辨识，从而提高算法对电感的鲁棒性；文献[160]通过离散时域的功率扰动观测器对电感进行辨识，提高了DBC算法的鲁棒性。文献[161]采取最小二乘法对整流器电感和电阻进行在线识别，不再依赖原始模型参数，明显减小了参数不匹配对MPC的性能影响。
LIM系统的动态性能是评价LIM无速度传感器控制优劣的重要标准之一。在实际应用场合中，当给定速度变化时，LIM实际速度必须迅速地跟随其给定值；此外，若系统负载发生变化，电机速度的波动要尽量小，并且要能够迅速恢复到其给定值。基于次级磁链定向的LIM无速度传感器控制框图如图1-33所示：根据电机输入电压和电流，速度与磁链观测器可对次级磁链角度和速度进行估计，同时速度控制器则根据速度给定值和估计值进行调节，从而得到 q 轴电流指令。
图1-33 基于次级磁链定向的LIM无速度传感器控制框图
基于上述分析，可得到LIM无速度传感器控制的简化原理框图，如图1-34所示。图中 G p ( s )为LIM模型， G ic ( s )为电流控制器传递函数， G vc ( s )为速度控制器传递函数， G vo ( s )为速度观测器传递函数。由图1-34分析可知：LIM系统动态性能主要受电流控制器、速度观测器和速度控制器的影响。一般情况，电流控制器的设计在有速度传感器和无速度传感器控制系统中差别不大，其性能主要与开关频率有关；同时因LIM电磁时间常数远小于机械常数，所以在速度环的分析和设计时，可以忽略电流内环的动态过程，从而可将其视为比例环节。因此，本书后面将主要考虑速度观测器和速度控制器对无速度传感器控制系统的动态性能影响。
图1-34 无速度传感器控制的简化原理框图
速度观测器的动态变化，即估计速度收敛到实际速度的过程，将会直接影响无速度传感器控制系统的动态性能。目前RIM速度观测器主要包括基波模型方法和各向异性方法，其详细分类如图1-35所示。
图1-35 RIM速度观测器方法分类
因为电机各向异性与转子位置有关，而与运行速度无关，因此可利用电机各向异性对转子位置进行辨识，从而间接获取电机转速信息。在各向异性的速度观测器中，通常需注入载波信号 [162-170] ，比如电压或电流，然后检测对应响应（电流或电压），进而提取转子位置信息。文献[162]针对LIM提出了一种磁链饱和速度估计方法：首先，通过增加励磁电流使磁链饱和，获得不同的 d 轴和 q 轴磁阻；然后，在 q 轴注入高频电压信号，在 dq 轴上产生相应的高频电流信号，通过解调制获得次级磁链位置信息，从而实现无速度传感器控制。文献[164]利用RIM的凸极特性提出了一种方波电压信号注入的速度观测方法：首先在 d 轴上注入高频方波电压，在 dq 轴上产生与转子磁链角度估计误差相关的电流信号，获得转子磁链的位置信息。在提取高频电流信号时，该方法利用了带通滤波器，从而影响了速度观测器的动态性能。同时，因采用频域分析方法，注入信号的频率将会影响系统动态性能，即注入信号频率越高，速度观测器的动态性能将越好。对于轨交LIM系统而言，因气隙较大、次级无齿槽、电机磁链不易饱和、不能用齿槽谐波进行速度估计，为此电机各向异性的速度观测器方法很难在LIM系统上得到广泛应用。
在基波模型的速度观测方法中，开环观测器通常采用电机电压、电流、磁链和速度间的稳态关系来观测速度，因其动态性能一般而较少采用 [171] 。模型参考自适应系统（Model Reference Adaptvie System，MRAS）速度观测器，通常把不含速度的电机状态模型作为参考模型，而把含有待定速度参数的电机状态模型作为可调模型，再通过自适应律调节直到两个模型的输出值相同，从而达到在线辨识电机速度的目的 [172-175] 。由此看出，MRAS速度观测器的动态性能主要取决于自适应律参数的设计。
随着计算机技术的发展，人工神经网络、基因遗传算法、模糊控制等人工智能算法逐渐在LIM无速度传感器控制中得到应用。文献[176]提出了一种线性神经网络MRAS速度观测器，其性能相较于传统MRAS速度观测器和滑模速度观测器得到了一定提升。文献[177]提出了一种模糊虚拟参考模型速度观测器，将速度跟踪问题简化为系统稳定性问题，并将控制器设计和观测器设计进行了统一，具有较好的动态响应和参数鲁棒性。但是，这类方法的理论分析和实现过程较为复杂，其实际应用受到了一定限制。
观测器法主要有全/降阶状态观测器法、卡尔曼滤波器法和滑模观测器法。本质上，它们为特殊的MRAS法，以实际电机为参考模型，以观测器为可调模型，通过相应的自适应律调整估计速度，使观测器的状态估计值与电机实测量一致，其原理如图1-36所示。然而，与MRAS法不同的是，观测器法可从反馈增益和自适应两个方面来改变速度观测器的动态性能，因此其设计自由度更高。
图1-36 基于观测器的速度估计方法原理框图
LIM数学模型包括四阶电磁方程和一阶运动方程，是一个高度耦合的五阶系统。LIM观测器主要包括两类：两阶电压模型或两阶电压电流与互感组合的降阶状态观测器，或统一四阶电磁方程建立的速度全阶状态观测器。卡尔曼滤波器是一类特殊的全阶状态观测器，采用迭代形式的估算方式，适用于非线性系统的最优化自回归数据处理算法。卡尔曼滤波器速度估计方法，其增益矩阵与全阶状态观测器有所不同：它主要根据系统的处理误差和采样噪声确定，因此具有较好的抗噪能力。但是，卡尔曼滤波器中调节状态估计收敛速度的协方差矩阵很难获得，需要结合其他算法经过多次调整确定。此外，卡尔曼滤波器的速度估计方法涉及大量的矩阵运算，对控制芯片要求较高 [178] 。滑模观测器法与全/降阶状态观测器法基本类似，其主要区别在于状态估计误差的反馈形式：前者使用状态估计误差的非线性函数进行反馈，而后者则使用状态估计误差的连续函数进行反馈。
总体而言，在各类LIM速度估计方法中，观测器法在动态性能的设计上具有更多自由度，可从反馈增益和自适应律两方面来调整和提高。但是，若反馈增益选择不当，将会影响全阶状态观测器的零极点位置，进而降低观测器动态性能。文献[179，180]针对全阶状态观测器速度估计方法，提出了一种“极点放大”反馈增益，可使观测器的极点变为自然极点的倍数。文献[181]提出了一种“极点左移”反馈增益，使状态观测器的极点位于自然极点的左侧水平位置。文献[182]针对电机低速再生制动下的稳定性，分析了反馈增益稳定的必要条件，并提出了一种“完全稳定”反馈增益，能使速度观测器在大部分运行区域内保持稳定。文献[183]则比较分析了上述三种反馈增益对速度观测器的收敛性和稳定性影响，指出了速度观测器的动态性能与电机运行速度和负载密切相关：在运行速度较高时，“极点放大”型反馈增益矩阵和“极点左移”型反馈增益矩阵的误差收敛速度，均明显快于“完全稳定”型反馈增益矩阵；但前两者反馈增益矩阵在低速再生制动时会出现不稳现象，而“完全稳定”型方法则能保证系统稳定运行。文献[184]分析了几种不同反馈增益对速度收敛速率的影响，并进一步提出了增益调度方法，即在不同速度范围选择不同的反馈增益来提高速度观测器的动态性能。
自适应律的类型和参数也是影响观测器动态性能的重要因素。文献[182]提出了全域范围稳定的反馈增益，同时指出PI自适应律的积分参数将影响速度变化时的速度估计误差，而比例参数则影响速度观测器对噪声的敏感程度，并提出了自适应参数设计方法。除了使用PI自适应律外，文献[185-187]提出了电机运动方程自适应律，充分利用了电磁模型和机械模型，相比于传统PI自适应律，它增加了观测器的阶数和开环零点，提升了参数设计的自由度，可获得更好的动态性能。对于滑模观测器速度估计方法，其自适应律则采用开关函数 [174,188] ，从而提高了观测器的收敛速度，但却增大了估计速度的波动范围。此外，文献[173]还提出了有限集模型预测控制自适应律，通过代价函数保证每个采样周期内的速度误差最小，从而获得较为准确的转子位置：由于没采用PI自适应律，不需要设计自适应参数，具有较好的动态和稳定性能，且参数鲁棒性较强。
速度控制器也是影响速度观测器整体动态性能的关键一环。总体而言，速度控制器主要解决两个问题：对速度给定指令的快速跟踪和对负载扰动的快速抑制。从控制器结构入手，速度控制器主要包括三类，即反馈控制、前馈控制和复合控制，如图1-37所示。通常情况，LIM速度控制器的设计可参考RIM分析方法，但目前多采用PI调节器 [176,189-191] ：由于积分器的存在，该类系统通常面临超调量较大、动态性能较差、稳定时间较长等问题 [192] 。
图1-37 速度控制器分类
如图1-38a所示，通过比较系统的输出与给定值偏差，反馈控制方法可对输入量进行调节，以获得预期的系统性能。该类方法最典型的例子是PID控制器，可根据系统误差的比例、积分和微分项确定系统输入控制量，即使控制对象的模型不确定也能获得较为满意的效果，因此在工业控制中得到了广泛应用 [193-197] 。文献[198]针对直流电机调速系统，根据电机参数给出了速度环PID控制器的工程设计方法。文献[199]基于永磁同步电机调速系统的频域模型，给出了电流环和速度环PID控制器的参数计算方法，充分考虑了死区、延时等非理想因素的影响。自适应控制主要处理控制对象结构参数扰动，通常需要结合在线参数辨识方法进行调整 [200-205] 。鲁棒性控制是系统结构或参数发生一定变化时，仍能维持系统某些特性的分析策略，它通常会考虑较差工况下的折中或补偿措施，设计思想多趋于保守 [206-208] 。滑模控制具有动态响应快、扰动抑制能力强、参数鲁棒性好等优点，但通常会面临较大的抖振 [209-212] 。内模控制是基于过程数学模型进行控制器设计的控制策略，具有设计简单、控制性能好等优点，在线性系统中应用较广，但不适用于高阶系统的逆矩阵运算。
图1-38 不同的控制器结构
前馈控制的结构如图1-38b所示，通常需使用传感器检测负载扰动，然后前馈到控制器，进而主动跟随负载扰动的变化。一般情况下，由于负载扰动难以在系统中测量，或者测量的传感器成本较高，因此该类方法的实际应用不广。
综上所述，因为前馈控制具有较好的扰动抑制性能，而反馈控制可灵活调整系统控制误差，为此学者们结合两类方法进一步提出了复合控制策略，其结构如图1-38c所示。自抗扰控制是一种复合控制方法，它吸收了PID控制器的优点，其控制器设计不依赖于复杂的数学模型，并对非线性、不确定性和扰动变量具有较好的控制效果 [213] 。自抗扰控制主要有微分跟踪器、扩展状态观测器和非线性组合PID三个部分：其中微分跟踪器解决了快速性和超调间的矛盾，提高了调节器应对噪声污染能力，增强了系统鲁棒性；扩展状态观测器对系统状态、外部扰动和不确定性等进行估计；非线性组合PID则利用非线性函数来提高系统的响应能力。扰动观测器控制（Disturbance Observer Based Control,DOBC）通过建立扰动观测器对系统扰动进行观测，再将观测到的扰动前馈到控制器中，兼具前馈控制和反馈控制的优点 [214-218] 。
除了动态性能，控制器的算法复杂度和调试难易程度也是重要的衡量指标。特别是对低刚性控制对象，为防止机械共振，控制器增益不能太大：此时为保证系统的跟踪性能，往往会牺牲一定的抗扰能力，同时参数的调整难度急剧增加。为此，有学者提出了二自由度控制器，可分别调节系统的跟踪性能和抗扰性能。
文献[219-220]总结了四种典型的二自由度控制器，如图1-39所示，包括设定值滤波型二自由度控制器、设定值前馈型二自由度控制器、反馈补偿型二自由度控制器和回路补偿型二自由度控制器。分析发现，四种控制器虽然结构不同，但通过合适的 C ( s )和 H ( s )便可进行等效变换，其系统输出具有相同的响应。因此，二自由度控制器的一般形式为
式中， r 为系统的给定； y 为系统的输入； k p 、 k i 、 k d 、 k c 、 k b 为控制器的参数。
图1-39 二自由度控制器结构框图
文献[221]采用设定值滤波型二自由度控制器改善了电机的速度跟踪性能和负载扰动性能。文献[222]研究了直流伺服系统的二自由度控制方法，在不改变指令输入响应的条件下提高负载扰动鲁棒性，其系统结构如图1-40所示。文献[223]对图1-40中的低通滤波器 Q 进行了设计，分别探讨了不同阶次的低通滤波器对系统性能的影响。实验结果表明，低通滤波器的阶次越高，系统的鲁棒性越好。文献[224]则对设定值滤波型二自由度控制进行了设计，采用非光滑函数提高了系统动态性能。文献[225]提出了滑模二自由度控制方法，其内环采用线性二自由度控制，外环则采用滑模控制，实验结果表明其具有很强的扰动抑制性能。文献[226]在传统内模原理二自由度控制基础上，使用免疫算法在线优化滤波器参数，提高了RIM动态性能。文献[227，228]将二自由度控制应用在永磁同步电机无速度传感器电流环中，提高了高频注入电流环控制效果。文献[229]将二自由度控制器应用在永磁同步电机有速度传感器控制中，取得了一定的抗扰性能。文献[230]结合卡尔曼观测器，将二自由度PI控制器应用在了永磁同步电机无速度传感器速度环中，明显提高了动态性能，但卡尔曼滤波器的参数调整困难，需要进一步改进。
图1-40 直流伺服系统的二自由度控制方法
综上所述，LIM系统相关的无速度传感器控制方法及性能总结如下：
1）LIM无速度传感器控制中，速度反馈采用速度观测器的估计值，因此应该考虑速度观测器的动态过程。为此，有速度传感器的相关算法不能直接应用在无速度传感器中。
2）要提高LIM无速度传感器控制系统的动态性能，必须对速度观测器和速度控制器同时进行优化，但目前研究工作主要偏重于速度观测器，而对速度控制器的重视不够。
3）二自由度控制可分别调节速度跟踪性能和负载抗扰性能，易于同时实现两者性能优化，显著降低参数调试难度。因此，本书将对二自由度无速度传感器控制进行深入研究。
因LIM无速度传感器闭环控制系统包含速度控制器和速度观测器，为此必须对两者的稳定性进行详细分析。然而，目前大部分系统稳定性分析仅考虑速度观测器，而忽略了速度控制器的影响，比如文献[231]对两类无速度传感器方法进行了比较，见表1-3。其中电机各向异性速度估计方法 [232-234] 最低运行频率可长期为0Hz，但基波模型法，只能接近0Hz或短时0Hz运行。
表1-3 RIM不同速度估计方法特点 [231]
由表1-3可知，虽然各向异性速度估计方法最低运行频率理论上可为0Hz，但由于LIM特殊机械结构，该类方法不具有普适性，因此下面主要讨论电机基波模型速度估计方法。文献[235,236]利用非线性方法，分析了RIM速度可观测的条件，得到结论如下：基波模型速度估计方法在定子频率为零时，因定子电流不含转速信息而无法估计。文献[236]针对低速再生制动时转速可观性较差的问题，通过实时调节电机励磁水平来提高速度“可观测指数”，从而提高速度观测器的稳定性。文献[237]对RIM常见速度观测器的稳定性进行了详细调查，并对三种常见的不稳定现象进行了深入分析，进而提出了相应的补偿办法。文献[238，239]对速度观测器的全局可观性和稳定性进行了分析。文献[240]针对降阶磁链观测器给出了满足速度观测器稳定条件的增益设计方法，可根据电机运行条件的变化实时调整增益参数值，明显提升了观测器的阻尼特性、参数鲁棒性和收敛速率。
文献[182]针对全阶状态观测器的速度估计方法，在同步旋转坐标系下将速度估计环节线性化，从而得到估计速度与实际速度之间的传递函数；进一步，分析得到了观测器稳定的条件，即观测器开环传递函数的零点和极点都必须位于左半平面；随后，根据得到的稳定条件，提出了一种反馈增益设计方法，保证系统能稳定运行（定子频率为零时除外）。文献[241]分析了同时进行速度和定子电阻辨识时的系统稳定性问题，并推导得出了系统的显式稳定条件，阐明了系统何时出现不稳定现象，提出了反馈增益和积分自适应增益设计方法，提高了观测器的稳定性。文献[242]提出了基于全阶状态观测器和解耦控制的RIM无速度传感器控制方法，明确了传统反馈增益下的速度观测器稳定运行边界，给出了系统稳定运行的反馈增益设计方法。文献[243]对文献[180]的反馈增益设计方法进行了改进，通过改变极点放大倍数提高了系统的稳定性。文献[183]分析比较了几种不同类型的反馈增益对速度观测器的性能影响，结果表明：在低速和高速运行下，不同反馈增益的动态性能具有明显差别，部分反馈增益虽能保证速度观测器在整个运行范围内稳定工作，但高速下的系统收敛速度变慢。
综上所述，传统无速度传感器控制方法在分析系统稳定性时，主要偏重于速度观测器，而忽略了速度闭环，即没同时考虑速度观测器和速度控制器对整个系统的稳定性影响。对于各向异性速度估计方法，因其依赖电机不同方向上的不同磁阻特性，为此不适用于LIM系统；对于基波模型速度估计方法，它虽能在高速时取得较好的动态和稳态性能，但是其低速再生制动时速度观测器不易稳定运行。与之不同，全阶状态观测器可从反馈增益和自适应律设计两方面来提高系统性能，因此本书将其与速度控制器结合，深入研究LIM无速度传感器控制性能。
迄今LIM的等效电路及数学模型有多种，本书将主要采用龙遐令数学模型开展参数辨识研究：其中变化最为复杂剧烈的两个参数为等效励磁电感（简称“励磁电感”）和等效次级电阻（简称“次级电阻”），同时它们也是对各种基本控制方法（如磁场定向控制、直接推力控制等）和高性能控制策略影响较为关键的参数。考虑到LIM结构的特殊性、模型的复杂性和参数的多变性，目前LIM参数辨识研究相对较少，主要集中在离线辨识方面，且大多数方案仅能获取LIM静态参数，难以真实反映运动状态下的变化情况 [244-251] 。由于LIM参数变化的因素众多，包括磁饱和、温度、运行速度、转差频率、趋肤效应等，通过离线辨识获取了部分工况下的电机参数后，也难以制作表格来综合反映出主要因素对LIM参数的影响 [251] 。文献[13]通过建立次级涡流方程，根据一个周期初次级能量守恒，推导出边端效应校正因子 f （ Q ），并建立了LIM等效电路，但该方法考虑因素较少，适用速度区间较窄。文献[12]基于麦克斯韦方程组，根据复功率守恒，推导得到了一种全面考虑速度和转差频率的动态边端效应修正方法，但是该方法依赖众多的电机结构参数，且计算过程十分复杂。
综上可知，无论是静止状态和运动状态的离线参数辨识，还是基于电磁理论推导得到的参数修正方法，均无法充分、准确地反映实际运行中复杂因素对电机参数的影响。因此，亟需对LIM在线参数辨识方法进行研究，以综合地考虑多种因素对参数的影响，进而增强系统的参数鲁棒性。由于速度本质上也是电机的一个参数，因此同速度估计方法类似，在线参数辨识也可以分为：电机基波数学模型方法 [252-266] 和电机各向异性及谐波激励方法 [267-268] 。考虑到后者在目前电机系统的应用难度较大，本书将重点研究基波模型方法。
因信道数目和微处理器运算能力限制，基波模型方法难以同时辨识所有电机参数，目前多为双参数在线并行辨识方法 [269-273] 。当待辨识参数数目增加时，则需考虑利用暂态过程来进行辨识 [274] ，或对电阻类参数采取近似处理 [275] 。文献[274]提出了一种带定子和转子电阻解耦辨识的无速度传感器控制方法：基于分时处理，在恒定磁通状态下辨识定子电阻，在施加磁链斜坡指令时辨识转子电阻。文献[275]提出了一种考虑杂散负载和铁损的在线参数辨识无速度传感器方法：在辨识得到定子电阻后，同等比例地对转子电阻和附加电阻进行修正。但是上述方法均存在一定局限性：前者需要在转子电阻辨识过程中变更励磁状态；后者只近似考虑了温升对电阻的影响，忽略了趋肤效应等影响因素，从而对LIM相关参数造成一定误差。为此，本书后面将主要对单参数和双参数在线辨识方法展开深入研究。
多数工况下，RIM励磁电感变化相对较小，因此励磁电感在线辨识方法不多。然而，与之大不相同的是，因为边端效应等影响，LIM励磁电感受运行速度、转差、频率、电机结构参数等影响较大，呈现出高阶非线性、时变强耦合等特点。加之LIM漏感和励磁电感比值相对较大，即一个微小的绝对误差可能会造成较大的相对误差，为此亟需对LIM励磁电感进行高精度的在线辨识，从而提高电机系统的牵引能力。
文献[252]提出了一种适用于RIM瞬态和稳态工况的励磁电感在线辨识方法，具有结构简单、易于实现、参数敏感度低等优点。但是，该方法需用到电机的励磁曲线，因此不能很好适用于LIM系统。文献[253]提出了两种不依赖于励磁曲线的在线励磁电感辨识方法，具体介绍如下：
1）基于模型参考自适应系统。第一种方法分别以RIM转子磁链的电压、电流模型观测器作为参考模型和可调模型，通过波波夫（Popov）超稳定理论设计的自适应律来获得励磁电感。然而，该方法参考模型中存在纯积分环节，虽然可采用低通滤波器 [276] 和自适应神经积分器 [277] 等方法加以解决，但会导致幅值衰减、相位偏移、系统复杂度增加等问题。
2）基于同步旋转坐标系下两种无功功率的计算公式。第二种方法设计了一种励磁电感开环计算方法，无需自适应率设计和PI参数整定。但是，因无功功率由稳态模型得到，该方法只适用于稳态参数辨识。另外，该方法的准确度严重依赖定向精度，受励磁电感变化的影响较大。
文献[254]考虑磁饱和影响，提出了一种不依赖额外数据拟合的定子电感及励磁曲线在线辨识方法。但是，该方法首先需通过信号注入辨识漏感，然后变换两种励磁水平才能完成辨识过程，其实施过程较为繁琐。文献[255]结合简化的LIM数学模型提出了一种全阶状态观测器励磁电感在线辨识方法：利用电机本身作为参考模型，不含纯积分环节，但需设计复杂的增益矩阵，从而增加了系统整定难度。为克服文献[255]的缺点，文献[256]基于Duncan模型提出了一种新型励磁电感自适应方法。然而，上述两种方法均采用了经典的极点倍数配置方案，主要针对不带自适应机制的全阶状态观测器进行设计，而未对自适应系统的反馈增益矩阵及稳定区间开展研究，而当用于全阶自适应观测器系统时将无法保证宽速度范围下的工作稳定性。
根据文献[12]中的LIM数学模型可知，等效次级电阻将受速度、负载、趋肤效应和温升等众多因素影响，因而必须对其进行在线辨识研究。由于次级电阻常出现在次级时间常数的分母上，为此可将其作为一个整体进行在线辨识。但是与RIM不同，因次级电感也存在一定的非线性变化，LIM次级时间常数的辨识难度也较大。
迄今，RIM转子时间常数或转子电阻的在线辨识研究较多，主要介绍如下。基频模型方法主要采用不同变量的MRAS结构来推导获得各种自适应律，如转子磁链 [257] 、转子磁链导数 [258] 、电磁转矩 [259] 、定子电压 [260] 、无功功率 [262-263] 等。文献[261]提出了一种RIM转子时间常数在线辨识方法，它由两种励磁电流观测器MRAS推导获得，其参考模型中因纯积分环节而存在直流偏置和参数漂移等问题。文献[262]给出了一种基于无功功率的MRAS转子时间常数在线辨识方法，如图1-41所示。通过将定子频率信息纳入自适应机制中，扩展了修正方案的有效范围，完成了定子频率相关的开环增益归一化，开展了自适应增益设计工作。然而，因可调模型依赖于精确励磁电感信息，该方法不能直接用于励磁电感变化大的LIM系统。
图1-41 基于无功功率的改进型转子时间常数在线辨识方法
为更清晰地分析不同变量MRAS策略，文献[266]在间接磁场定向的基础上，依据李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论和Popov超稳定性理论推导了RIM转子时间常数辨识的统一自适应率。结果发现：各种MRAS方法虽然实现方式不同，但本质上是统一的，其自适应率可归纳为
当式（1-24）中的 f 1 和 f 2 取不同形式时，可得到不同MRAS的转子时间常数辨识自适应率。当 f 1 = f 2 =0时，可得到 q 轴转子磁链辨识方案；当 f 1 =0、 f 2 = -L m 时，可得到 d 轴转子磁链辨识方案。更多方案这里不再赘述。综上可知，传统MRAS辨识方案中融入 q 轴定子电流、定子频率等信息后，可以有效扩展系统的稳定运行范围。
除了上述基频模型法外，还有一些方法通过小信号注入 [267] 或信号抖动 [268] 等原理来辨识转子时间常数，它们可用来同步实现基频模型的无速度传感器控制，以避开转速和次级时间常数在基波模型中的深入耦合，进而解除并行辨识方案的部分限制条件。然而，因该类方法经常需要额外信号注入或特殊设计的滤波器，实际应用难度较大，本书后面将不重点讨论。
因为边端效应和磁场饱和等影响，LIM单参数在线辨识，比如互感或次级电阻辨识，可能会引起不同参数间的相互依赖和影响，所以必须开展多参数在线辨识 [262] 。通常而言，LIM励磁电感和次级时间常数的准确获取对电机控制具有重要意义，只有同时确定了相关参数才能准确获取次级电阻值。但是，由于实现上较为困难，目前仅有少量的研究成果 [269-273] 。不同于转矩或无功功率等单自由度变量，RIM次级磁链因具有幅值和相位双自由度特性，经常被用来进行双参数在线辨识，比较经典的有RIM转速和定子电阻的在线辨识方法 [278] 。
文献[269]选取转子磁链作为观测变量，提出了励磁电感和转子电阻并行辨识方法，如图1-42所示。为提高转子磁链参考值对转子电阻和励磁电感失配的鲁棒性，文章将高阶终端滑模观测器和一阶滑模观测器相互串联构成参考模型，从而获得了一定效果。然而，为保持系统在全速范围下的稳定性，该方法需要根据不同的运行工况实时调整转子电阻的PI控制器增益符号。
图1-42 基于转子磁链的励磁电感和转子电阻并行辨识方法
为降低文献[264]中转子时间常数在线辨识方法对励磁电感的依赖程度，文献[270]进一步提出了一种改进电压模型励磁电感和转子时间常数并行辨识算法，如图1-43所示。经过理论分析，基于电流模型的观测磁链幅值和相位误差与参数偏差的关系式为
图1-43 基于改进电压模型的励磁电感和转子时间常数并行辨识算法
结合图形和相关分析发现：LIM转子磁链的相位误差仅受转子时间常数偏差的影响，而幅值误差的影响因素则包括转子时间常数偏差和励磁电感偏差。为了尽量避免转子时间常数辨识支路对励磁电感支路的影响，在辨识励磁电感时综合了转子磁链幅值和相位误差信息，通过近似处理，使该误差项主要受励磁电感偏差的影响。另外，该辨识方法还需构建相应的电压模型和电流模型磁链观测器，并且转子时间常数的辨识还需要 d 轴电流，因此整个系统的稳定性分析将变得较为复杂。
文献[271]设计了一种四阶滑模磁链观测器来实现转子电阻和次级时间常数倒数的在线估计，该方法对漏感数值中的不确定性具有较强鲁棒性，但对定子电阻误差却较为敏感。此外，当电机运行在低转矩水平时，其辨识误差较大。为了较为准确地实现LIM单位电流最大推力控制，文献[272]提出了一种基于端部阻抗幅值和相位的变参数辨识算法来获取励磁电感和次级电阻，以实时更新控制策略中的所用参数。文献[273]针对励磁电感和次级电阻，分别构建了基于推力观测器和全阶状态观测器的辨识方案，进而得到了一种双参数并行在线辨识策略。
综上所述，将在线参数辨识的关键性问题和研究现状整理归纳如图1-44所示。
图1-44 在线参数辨识的关键性问题和研究现状
通过辨识获取的高精度参数，可与LIM各类高级控制策略结合，如最小损耗控制、模型预测控制、无速度传感器控制等，进而降低电机损耗、提升控制动静态性能和增强系统参数鲁棒性等。
在线参数辨识同最小损耗控制结合，可以实时校正LIM最优磁链给定值，从而对实际磁链进行高精度控制，确保电机能运行在最优工作点上。针对传统方法未考虑电机参数随运行工况变化的不足，文献[279]设计了双卡尔曼滤波器，对电机损耗相关的电流分量、电阻、电感、磁链等参数进行了实时观测和辨识。针对损耗模型参数变化会影响效率优化效果的问题，文献[280]提出了观测器最小损耗控制算法，能够在线辨识并更新当前电机损耗模型参数。文献[281]将最小二乘在线递推算法引入RIM损耗模型的参数辨识中，提出了考虑电机参数时变的最小损耗控制策略，提高了系统的控制精度和鲁棒性。
在线参数辨识与MPC的结合已在1.3.3节中进行了详细介绍，通过对一些关键参数进行在线辨识以提高MPC的预测精度 [282，283] 。针对无速度传感器参数敏感性问题，不少文献采用速度和参数并行辨识的方法，实时修正自适应算法中所用到的电机参数 [268,284-286] 。文献[278]基于全阶状态观测器，首先提出了RIM转速与定子电阻并行辨识的方法。由于RIM基波模型下转子电阻（或转子时间常数）与转速之间存在深度耦合 [287] ，不满足同时可观的条件，较难实现两者的并行辨识。若通过基波模型辨识转速，则转子电阻（或转子时间常数）的在线辨识需借助高频信号注入或瞬态过程特殊处理方法：前者会在一定程度上引入转矩脉动，并将增大趋肤效应影响，后者只能在动态过程中对辨识参数进行校正。由于励磁电感同其他参数的耦合程度较深，其在线并行辨识的自适应率设计相对复杂，亟需开展深入研究。
当状态误差环节引入全阶状态观测器后，将构成闭环观测器，从而可提高参数辨识精度 [288] ，目前已有一些文献对全阶状态观测器无速度传感器控制开展了研究 [289-290] ，主要问题包括：如何实现连续域低速再生制动工况的稳定运行，如何提升稳定区间内的收敛速度，如何增强离散域高速下的稳定性，如何避免参数不准对辨识系统的影响等，其问题之间的相互关系如图1-45所示。参数并行辨识的引入，可在一定程度上提升电机参数鲁棒性，但也会对其他方面的性能产生一定影响，因而需对全速域下的稳定性进行重新分析。在分析速度与定子电阻的并行辨识系统稳定性时，考虑到转速的变化速度远快于受温度影响的定子电阻，可将定子电阻视为常数 [291] 。而对于LIM励磁电感，因其变化速度与转速相当，无需再进行简化，为此需要在稳定性分析中对励磁电感自适应率加以考虑，以保证整个并行辨识系统的稳定性。
图1-45 基于全阶状态观测器的辨识系统关键问题分析