直线感应电机及系统最新章节_徐伟著

2.2 绕组函数理论及分析

2.2.1 电机结构

LIM的分析模型如图2-1所示，为了分析的方便，首先做如下假设：

1）坐标系固定在初级上，初级绕组分布在有限区域。

2）气隙磁场只包含 y 方向分量，且和 y 坐标无关；行波磁场及电机运行方向沿 x 坐标。

3）次级电流只沿着 z 方向流动。

4）初级铁心叠片和次级铁轭磁导率为无穷大。

5）初级端部半填充槽效应可通过选用合适的初级绕组函数来等效。

6）次级端部电气参数全部归算到初级。

7）所有电磁场参量为 x 和 t 的正弦函数，且只考虑各场量的基波分量。

图2-1 LIM结构参数与性能指标间的相关系数

采用麦克斯韦方程，根据文献[18]可推导出气隙磁通密度方程如下：

式中， σ _e 为次级板等值电导率；为气隙合成磁通密度的复量形式（以下相关量均表示复数形式）； V ₂ 为电机沿 x 方向的运动速度；为初级电流层的等效电流密度；，其中为初级电流产生的磁通密度的 y 分量，为次级电流产生的磁通密度的 y 分量（包括基波分量和边端效应分量）；。

化简式（2-1），可得

2.2.2 绕组函数

2.2.2.1 绕组函数概念

绕组函数 N ( x )可以通过简单导体数目的计算来获得，如图2-2a所示。从左至右计算导体数目：当电流流向纸外， N ( x )增加；电流流向纸内， N ( x )减小。按照上述规则，绕组函数的变化如图2-2b所示。

对闭环路径 A ₁ A ₂ A ₃ A ₄ A ₁ 可用安培环路定律求得磁场强度为（见图2-2c）

图2-2 初级单相绕组函数示意图

式中， i 为绕组电流； N ( x )可理解为用绕组电流归一化后的磁动势，它与绕组分布和电机的几何结构相关。

2.2.2.2 初级绕组函数

按照绕组函数的求解规则，画出了一台LIM的初级三相绕组函数分布图，如图2-3所示。其中电机极数为8，每极每相槽数为3，绕组跨距为7槽。

对图2-3中的三相绕组函数进行傅里叶分解，并只考虑基波分量，可得到如下表达式：

图2-3 初级三相绕组函数分布图

式中， N _s = K _p K _d N _a ，其中 K _p 和 K _d 为绕组短距系数和分布系数； N _a 为每极每相绕组的串联匝数。

采用旋转电机的 α-β 变换方法，将坐标固定在LIM的初级上，根据磁链守恒变换原则，可得 α-β 坐标下的绕组函数表达式为

上述推导未考虑初级绕组端部半填充槽的结构特点。为表征半填充槽给电机三相初级绕组带来的不平衡影响，这里通过选择 β 轴和 α 轴的起始位置来折中，如图2-4所示。假设在电机初级有效范围内， β 轴滞后于 α 轴半个极距（其中初始角度 δ 为绕组开始取值的角度，实际中该角度不为0，但是它不影响后面用绕组函数计算的电感值。为了简单起见，一般取 δ =0）。比如一台4极电机， N _αs ( x )的角度为[0，4 τ ]，而 N _βs ( x )的角度为[ τ/ 2，9 τ /2]，在[0， τ /2]内 N _βs ( x )=0。该等效方法可以理解为：在两相坐标系中，每对极的磁动势由两相绕组共同作用产生，而LIM的端部绕组只有中间的一半，即可近似认为在端部区域内，绕组函数的取值范围减少半个极距。相关方法由Lipo教授于1979年提出，然后由Dawson教授于1993年进一步完善发展。大量的试验表明：上述方法合理有效，计算出来的LIM特性变量和实际测量值基本接近，可以简化工程计算难度 ^[325] 。

图2-4 两相静止坐标下初级绕组函数示意图

2.2.2.3 次级绕组函数

次级绕组函数是一个抽象的概念，其表达式可以从场的分布求得。气隙中的磁通密度用绕组函数和等效电流表达为（均用复量形式）

初级磁通密度由初级电流 i _s 产生（只考虑基波分量）

这里设定次级绕组函数由两个独立分量组成，即基波分量和边端效应分量。两个绕组函数分量在电气上独立，各自的变化互不影响。但它们影响 α-β 坐标中电感参数的变化，后面将具体分析。

次级磁通密度的基波分量为

式中，为次级支路基波电流；是式（2-2）的稳态分量，分别求解如下：

由电机的T型等效电路及一维场理论，可得

式中， θ _s 为次级支路电流滞后初级电流的角度，且； ω _e 为初级角频率。

令∂ / ∂ t =j ω _e ，代入式（2-2）得

和的形式相近，将式（2-7）代入式（2-10）整理得

进一步求出次级基波磁通密度为

式中， G 为电机品质因数，且。

因此，由式（2-8）、式（2-9）和式（2-12）得次级绕组函数的基波分量的复数形式为

进一步分解到 α-β 后，可以得到次级绕组函数的基波分量为

采用上面类似的方法，可求解次级绕组函数的边端效应分量。边端效应磁通密度为

需要由式（2-2）的暂态方程求出，即

采用分离变量法，设有如下形式 ^[18] ：

把式（2-17）代入式（2-16），并用任意常数 λ 作为中间变量，可得

解，可得

由式（2-18）的另一个等式得

假设 B _re ( x )= D exp( γx )，其中 D 和 γ 为待定系数，代入式（2-20）后得特征方程为

可求得上式的解为

即 B _re ( x )= D ₁ exp( γ ₁ x )+ D ₂ exp( γ ₂ x )，结合式（2-17）和式（2-19），表达式演化为

式（2-23）的右边分别为入端和出端磁通密度； C ₁ 和 C ₂ 是待定系数，需根据电机端部的电流密度和磁通密度的边界条件确定。因为的激励源是初级电流，它随时间按照初级电源角频率变化 ^[18] ，所以中间变量 λ =j ω _e 。

把 λ 的解代入式（2-22），并令

式中， X 和 Y 为正实数，且有

由式（2-22）和式（2-24）求解可得

上述变量中， α ₁ 为气隙入端磁通密度行波的透入深度（表征波形传输距离的能力）， α ₂ 为气隙出端磁通密度行波的透入深度， τ _e 为边端效应磁通密度行波的半波长，它们与电机的气隙和次级板电导率的大小相关，其变化如图2-5～图2-7所示。分别表明了入端、出端磁通密度行波的透入深度 α ₁ 、 α ₂ 和端部效应磁通密度行波的半波长 τ _e 随气隙和次级电阻率的变化趋势。对于轨交牵引LIM，其入端磁通密度行波多数情况下传输范围为1m左右，而出端波只有几毫米。换言之，即入端磁通密度行波能到达初级的整个覆盖范围，而出端波衰减很快，传输距离很短。半波长 τ _e 通常为0.1m以上，它和牵引电机的极距接近，即端部效应波的传输速度和基波的速度相当。文献[326]表明，出端磁通密度行波对电机推力影响很小，通常可以忽略不计，多数情况下只考虑入端磁通密度行波的作用。