2.2 风电微网离网逆变器的控制

本节主要分析在同步旋转d-q坐标系建立的微电网系统单台逆变器离网运行的数学模型。在此基础上，介绍了电压电流双闭环控制系统的设计方法，通过仿真和实验验证了设计参数的正确性。

2.2.1 单台逆变器数学模型

图2.26为微电网系统离网运行时逆变器的主电路拓扑结构图。与逆变器并网运行时的拓扑不同之处在于，离网模式下微电网系统中只有逆变器作为电源，属于典型的无源逆变控制系统，而图2.26中的断路器将切断电网部分，微电网系统进入离网模式运行。离网逆变器由直流电压源u _dc 、三相逆变桥、LC滤波器、负载组成。其中，逆变器各桥臂中点电压分别为u _a 、u _b 、u _c ，滤波电容电压为u _ck ，滤波电感电流为i _k ，负载电流为i _lk 。

如果离网运行模式下滤波器采用单L型进行滤波，那么只要满足式（2.23）要求，即系统负载阻抗相对较小时，滤波效果较好，但强电网的阻抗又是非常小的，因此单L型滤波器在微电网系统逆变器并网时能够较好地起到抑制电流纹波的作用。但微电网系统逆变器运行离网模式时，通常采用典型参数如f _s ＝ 10 kHz，L ₁ ＝ 5 mH，|Z _d |＝ 100，负载阻抗|Z _d |大约是2πf _s L ₁ 的1 ／3，无法满足式（2.23），抑制电压纹波效果不理想。因此，需要考虑采用二阶LC型滤波器进行滤波。理论分析可得：系统输出端电压波形最坏的情况是当负载处于开路时，此时LC型滤波器传递函数可以用式（2.24）来表示，如果选择LC型滤波器的谐振频率作为开关频率f _s 的1 ／10，如式（2.25）所示，那么在大于开关频率f _s 的频段，可以取得35 dB以上的衰减，即系统输出电压纹波大概可以控制在电平跳变± U _dc 的1％以内；当系统并入阻性负载后，因系统的阻尼增大，传递函数的谐振峰将被得到较好的抑制。因此，理论仿真滤波电容可以选C _f ≥5.07 _μ F，就可以取得较好的滤波效果，而实际实验中通常选用C _f ＝ 20 _μ F。

离网模式单台逆变器运行时，在同步旋转d-q坐标系下的数学模型与并网运行时类似，主要不同的是离网运行时系统完全失去了外部大电网电压和频率的强力支撑和钳位，此时微电网系统完全变成一个高度自治的系统。此时逆变器的控制与并网时的控制主要不同之处在于电流内环的i _dref 和i _qref 获取方式不同。根据图2.23的拓扑结构可知，按照图中的参考方向，以电容电压u _a ，u _b ，u _c 为状态量，列写逆变器的状态方程：

其中，i _a 、i _b 、i _c 分别为流经电感的相电流，i _al ，i _bl ，i _cl 分别为流经当地负载的相电流。系统接入RL串联负载，在同步旋转d-q坐标系下的方程：

其中，R和L分别为负载的串联电阻和串联电感，u _d 、u _q 为滤波电容电压在d-q坐标系下的等效分量，i _d 、i _q 为电感电流在d-q坐标系下的等效分量，i _dl 、i _ql 为负载电流在d-q坐标系下的等效分量，ω ₀ L ₁ i _d 、－ω ₀ L ₁ i _q 为耦合电压，ω ₀ C _f u _d 、－ω ₀ C _f u _q 为耦合电流。进一步变换到静止α-β坐标系下的方程为：

其中，u _α 、u _β 为滤波电容电压在α-β坐标系下的等效分量；i _α 、i _β 为电感电流在α-β坐标系下的等效分量，i _α l、i _β l为负载电流在α-β坐标系下的等效分量。

2.2.2 电压型控制策略

目前，对于离网逆变器电压控制的方法已经有很多，例如矢量PI控制、比例谐振PR控制、无差拍控制、滞环控制以及滑模控制等控制方法。微电网系统控制结构方面，假设系统主电路采用LC型滤波器，输出电压控制通常可以采用电压、电流双闭环控制。

在离网模式下，为了保证微电网系统能够提供稳定的电源，满足电源与负荷之间的功率平衡[ ^139，140 ]，逆变器的控制采用电压、电流双环控制，为系统提供电压和频率支撑。根据逆变器数学模型，由公式（2.29）可以得到电压外环的控制方程及其控制结构图：

同样，由公式（2.39）可以得到电流内环的控制方程及其控制结构图：

其中，u _sd 、u _sq 为逆变器参考电压，K _p 和K _i 为电流调节器的控制参数，ω ₀ 为电网角频率。图2.29为电压、电流双闭环的控制框图，其中 、E分别为电压给定值和电压反馈值， 、i _l 分别为电感电流给定值和实际值，i为负载电流，K _pv 、K _iv 分别为电压外环控制器的参数，K _p i、K _ii 分别为电流内环控制器的参数，T _s 为系统采样周期，K为PWM增益。

由图2.29可知，根据MASON公式可以得到系统的电压开环传递函数：

进一步得到其闭环传递函数：

将参数代入公式（2.31）和公式（2.32）中，可得开环和闭环频率响应特性曲线如图2.30所示。从图中可知，系统相角裕度为500，幅值裕度大于50 dB，系统具有较宽的带宽，满足系统控制性能要求，保证其具有较好的稳定性。

图2.31为离网模式下单台逆变器的控制框图。电压、电流双闭环控制是在同步旋转d-q坐标系下电流矢量PI控制的基础上，加入电压外环，而电流内环主要目的是保证电压外环获得更好的抗干扰性能，同时引入电压前馈补偿能够有效消除电网电压扰动，对电容电流加入了前馈解耦，有助于提高系统带感性负载时的稳定性。在离网运行模式下，双闭环控制中的电压电流交叉耦合前馈补偿项减小了两者之间的耦合，能提高系统的动态性能[ ¹⁴¹ ]。在本节的控制方法中，电压、电流控制器均采用PI控制，其闭环控制框图如图2.31所示。

微电网系统单台逆变器离网运行时，连接不同类型负载情况，为了验证逆变器控制策略采用电压、电流双环控制能够对系统交流侧母线电压与频率进行有效控制，在MATLAB／ Simulink软件中搭建系统仿真模型，主要验证负载呈现纯阻性、感性和容性时逆变器控制策略的有效性和可靠性，具体的仿真参数见表2.5。

算例1 纯阻性负载分析

该算例中负载均为纯阻性负载，在直流电压恒定不变的条件下，各负载大小均为R＝|Z _d |＝ 100 Ω，串联电感、电容均为0，频率为50 Hz，仿真结果如图2.32—图2.34所示。图2- 32 为负载突增、突减时逆变器输出功率和负载功率的动态波形，负载在0.2 s、0.4 s和0.8 s时突增，逆变器能迅速调整其出力以满足负载功率需求，在0.6 s时负载突减，逆变器也能迅速精确分配输出功率，由于滤波电容的容性无功及纹波电流的存在，逆变器输出功率会波动，但负载为阻性，其无功需求始终为0。

图2.33为交流侧母线电压和频率变化波形，负载在0.2 s、0.4 s和0.8 s时突增，导致系统母线电压和频率均发生明显的跌落，但能够迅速恢复到稳定运行；在0.6 s时负载突减，同样造成系统母线电压和频率发生明显的冲击；图3.34 为负载发生突变时的负载电流波形，从图中可以看出，系统负载投入或切除均会引起负载电流的相应变化，其波形正弦稳定，动态响应时间较短，表明系统逆变器控制策略能够很好地匹配负载的突变情况。

算例2 感性负载分析

该算例中负载均为感性负载，其中负载R ＝|Z _d |cos θ ＝ 85 Ω，串联电感L ＝ 100 mH，仿真结果如图2.35—图2.37所示。感性负载突增、突减时系统逆变器输出功率的动态响应波形，同样设置负载在0.2 s、0.4 s、0.8 s突增和0.6 s突减，由于负载呈感性，无功功率需求大量增加，而逆变器仍能迅速精确分配其输出的感性无功功率以满足负载需求。

图2.36为感性负载发生突变时，系统交流侧母线电压和频率变化波形，图2.37为感性负载突增、突减时的负载电流波形。从图中可以看出，系统感性负载在相应时刻发生突变时，系统交流侧母线电压和频率变化与算例1 的情况一致；由于负载呈现感性，功率因数为0.85，导致负载电流幅值均变小，但在负载突变瞬间，没有导致负载电流幅值出现较大冲击。

算例3 容性负载分析

该算例中负载均为容性负载，主要参数前两者相同，串联电容C ＝ 100 μF，仿真结果如图2.38、图2.39所示。图2.38为容性负载突增、突减时逆变器输出功率和负载功率波形，负载在0.2 s、0.4 s、0.8 s突增和0.6 s突减，系统逆变器输出无功功率和负载无功功率均出现明显波动，其容性无功功率需求比较大，由于滤波电容可以补偿部分无功功率，因此逆变器输出的无功功率小于负载无功功率；图2.39 为交流侧母线电压和频率波形，与算例1、2相比，负载扰动影响更为明显。容性负载时，负载突增、突减的三相电流波形与负载呈感性时相似，此处不再给出相应波形。

当微电网系统处于离网运行模式下，不同负载对逆变器输出功率的影响不同，主要情况分为以下三种：

①当负载均为阻性负载时，系统中存在线路阻抗，会消耗一些有功功率，但负载无功功率为0。由于系统中存在滤波电容及纹波电流，能够提供部分无功功率，逆变器输出无功功率增加。

②当负载呈感性时，除存在（1）的情况外，不同之处在于滤波电感电容与负载电感组成一个三阶LCL滤波器，容易引起系统不稳定。在负载发生突变时，虽然逆变器输出功率发生波动，交流母线电压和频率也发生波动，但波动都不明显，仍在误差允许范围内。

③当负载呈容性时，除存在（1）和（2）的情况外，由于负载电容与滤波电感电容组成一个四阶LCLC滤波器，更容易引起系统的不稳定。负载发生突变时，逆变器输出的无功功率波动明显。在容性负载不断投入时，逆变器不能给负载提供足够的无功功率，此时应该切除一些次要负载，避免引起交流母线电压和频率出现更大波动，使系统失稳。

通过MATLAB ／ Simulink仿真结果分析，不同负载发生突变时，电压电流双闭环控制策略能对电容电流进行电流前馈解耦，又保证交流母线电压和频率的稳定，不仅实现了单台逆变器输出功率与负载所需功率进行动态、精确匹配，而且提高了微电网系统运行的可靠性和稳定性。

2.2.3 多台逆变器并联控制

本节主要介绍多台逆变器并联方案，分析比较了几种并联方案的优缺点，重点介绍了借鉴于同步电机外特性的下垂特性并联方案。由于只有在逆变器系统呈感性输出阻抗，才能将下垂控制原理应用于逆变器并联运行控制。因此，针对这个问题，本节主要分析了逆变器并联运行控制加入电压闭环后逆变器的输出阻抗特性，以及微电网系统的线路阻抗特性；并针对逆变器系统阻抗不呈纯感性的问题，主要研究了基于物理电抗的传统下垂控制策略和基于虚拟电抗的新型下垂控制策略，介绍了虚拟电抗的详细设计方法，在此基础上，进一步分析微电网系统中不同容量逆变器并联运行中存在的问题，提出采用调整虚拟电抗的方法实现不同容量逆变器并联运行。当然，为了提高下垂控制中的无功功率动态调节性能，进一步介绍一种下垂控制曲线修正方法，并通过建立下垂控制系统的小信号模型，分析了下垂控制系统的稳定性，采用根轨迹法分析功率下垂系数、功角和系统稳定性的关系。最后，经过仿真分析验证了下垂控制的有效性。

1）多台逆变器并联运行控制原理

多台逆变器并联的控制方案主要分为有通信线和无通信线。其中，有通信线的并联控制有集中控制、主从控制和电流链3C控制等，无通信线的并联控制主要采用下垂控制。

（1）有通信线的并联运行原理

多台逆变器并联运行主从控制框图如图2.40所示，从图中可以看出，这种控制方式包括主逆变器和从逆变器。主逆变器用来控制交流母线的电压和频率，从逆变器按照中央控制的指令输出相应的电流。这种控制方法存在以下几点不足：

①当主逆变器发生故障时，由于系统交流母线电压和频率的控制过度依赖主逆变器，将无法有效控制交流母线电压和频率。

②当在本地负载或新能源发电设备功率发生突变时，因各台逆变器之间相距相对较远，导致通信产生延时或者中断，此时必然导致系统主逆变器承担较大的功率波动，甚至可能超出其额定功率。

③当通信设备发生故障时，也会导致主从控制功能失效。

多台逆变器并联集中控制框图如图2.41所示，这种控制方法通过中央控制器将交流母线电压和频率检测值与设定值进行比较后，再与负载反馈电流相结合得到各台逆变器总输出电流的指令值，并根据各台逆变器直流侧电源输出的实时功率情况，将总电流指令值进行合理分配后再传送给各台逆变器。这种方法虽然能实现微电网系统中各台逆变器输出功率的合理精确分配，不依赖于系统中的某台逆变器，其冗余性比较好，但仍然要求系统采用的通信设备具有较高的可靠性。

多台逆变器并联电流链3C控制框图如图2.42 所示，这种控制方法先将第一台逆变器输出电流引入第二台逆变器中，再将第二台逆变器输出电流引入第三台逆变器中，依次类推，将最后一台逆变器输出电流引入第一台逆变器中，最后形成一个环形结构。只要在相邻两台逆变器之间建立通信联系，这种方法适用于各台逆变器之间相距较远的微电网系统。

有通信线的多台逆变器并联控制方法比较简单，更容易实现各台逆变器之间功率合理分配和交流母线电压、频率无差调节，但是会增加微电网系统建设的成本，交流母线电压和频率的控制过度依赖于通信线，难以实现各台逆变器接口微电源的“即插即用”。因此，有通信线的逆变器并联控制实际应用相对较少，目前的研究主要集中在无通信线方面。

（2）无通信线的并联运行原理

无通信线的多台逆变器并联控制只需要通过检测本地信息，便可完成对逆变器的实时控制，实现不同逆变器之间的有功、无功功率的精确分配。无通信线的多台逆变器并联控制方案主要依据电力系统中同步电机的有功-频率（P／f）和无功-电压（Q／ V）的下垂特性原理，将这原理应用于多台逆变器并联控制中，取得了显著效果，同步发电机电路模型如图2.43所示。

图2.43中的U∠0°为机端电压，E ₀ ∠δ为空载电动势，r为定子电阻，X为同步电抗，由电枢反应电抗和漏电抗组成，I表示输出电流，其表达式为：

通常情况下，同步电机中Xr，则式（2.33）可以进一步简化为：

根据图2.43中的电流方向，从电源端输出的视在功率向量表示为：

有功功率P和无功功率Q分别为：

在系统阻抗呈感性的前提下，即θ ＝ 90 ^° 时，有功无功功率的功角特性可以表示为：

进一步可以推导出第x台逆变器输出的有功和无功功率为：

一般情况下，认为δ较小，那么cos δ ≈ 1，sin δ ≈ δ，则有：

第x台逆变器输出的有功和无功功率为：

由多台同步发电机并联运行原理，如果其中一台发电机是有功功率出力较大，那它的转矩也要相应增加。当原动机采用有差调速器，那么这台发电机的转速下降，则导致频率ω也要下降，而功角δ与频率ω之间的微分关系可以表示为：

当频率ω下降后，输出的有功功率也将减少，因此实现有功功率的自动分配。稳态运行时，各发电机同步于ω ₀ ，有功功率、无功功率的分配如图2.41所示。

同步发电机并联运行时功率分配的原理为：当有功出力P增大时，那么频率ω下降，即存在ω-P下垂关系，如图2.44（a）所示；如果功角δ增大时，则有功输出P增大；如果输出无功功率Q增大，那么负载端电压U下降，即U-Q下垂，如图2.44（b）所示。如果系统最后稳定在同一个频率和端电压上，根据图2.44可得功率分配关系：

其中，m和n分别为ω-P和V-Q下垂系数，x ＝ 1，2，…，k。由式（2.40）和图2.44（b）比较得到无功下垂系数n与感抗X的关系：

如果发电机发出的功率是感性无功功率时，由于发电机的电枢反应和漏感作用，导致发电机端电压下降。从式（2.39）中也可以看出电源E ₀ 发出的无功功率Q与端电压U之间存在下垂关系。两台发电机并联空载运行的等效电路如图2.45所示，如果发电机1空载电势与发电机2不相等，那么在电抗X的作用下，两台发电机输出的无功功率为：

由上述公式可见，感性无功会从空载电压高的发电机端流向空载电压较低的发电机端。经过研究，增大两台发电机之间的电抗X可以减少有功环流，但不能完全抑制无功环流。如果系统中的无功环流较小，则说明发电机发出的无功大部分被负载吸收。因此，借鉴同步发电机的下垂特性原理，并将这一原理运用于两台逆变器的并联运行中，其对应的下垂曲线如图2.41所示。

（3）逆变器系统阻抗分析

单台逆变器等效电路如图2.46所示，其中，E _x ∠δ _x 表示为第x台逆变器输出电压矢量，逆变器输出阻抗与线路阻抗之和为Z _x ∠θ ＝ R _x ＋ jX _x ，r _x 为等效电阻，X _x 为等效电抗，交流母线电压为U∠0。此外，逆变器系统阻抗Z _x 包含了逆变器输出阻抗和线路阻抗，其中逆变器的输出阻抗不仅受到系统滤波器参数的影响，而且还受逆变器控制参数影响[ ¹⁴² ]，而线路阻抗受线路电压等级、输电线长度等因素的影响。由此可见，逆变器系统阻抗受到多个因素影响。

按照电压、电流双闭环控制框图，可以得到逆变器的输出阻抗：

代入参数后得到输出阻抗的Bode图，如图2.43所示，从图中可以得到：在基波频率50 Hz附近，逆变器系统的输出阻抗受到滤波电感的影响，其相频特性为90°，输出阻抗呈感性。由于在d-q坐标系下，逆变器系统中的电压、电流物理量在稳态时为直流量。因此，逆变器输出电抗稳态值为：

逆变器系统电抗决定于线路电抗，而低压线路阻抗特性通常呈现阻性或阻感特性。这样，逆变器的输出阻抗和线路阻抗均不能保证呈纯感性，下垂控制不能正确应用。

根据两台发电机并联空载运行等效电路可以推广到两台逆变器并联带载运行的等效电路图，如2.48 所示，两台逆变器通过呈感性的线路阻抗或电抗器接到公共点（PCC），并在公共点处连接上交流负载。根据逆变器电压控制原理，可以实现输出电压恒为E ₀ 的逆变电源E ₁ 和E ₂ ，通过图2.44（a）的ω-P下垂曲线可以确定电源的频率；如果发出的有功功率越大，频率越低，反之亦然。

根据两台逆变器带载并联运行等效电路和基尔霍夫电压原理，得到逆变器输出电压与负载端电压之间的电路方程：

由于两台逆变器并联运行的等效电路是一个对称结构，因此，以其中一台逆变器为例，将上式变换到d-q坐标系下有：

同样，由于q轴与d轴的电压控制模型相同，但两者各自的电压给定值不同，q轴上的电压给定值为0，d轴上的电压给定值为电压目标值E ₀ ，其数学表达式为：

当逆变器运行达到稳态时，其电压都能达到预先设置的给定值，在式（2.49）的基础上加入电抗项，则逆变器的输出呈感性：

从式（2.50）可以看出，d轴有功电流和q轴无功电流上的电抗不一致。从有功功率角度看，系统的电抗X越大，那么两台逆变器之间的联系越弱，容易失去同步运行；从抑制系统环流的角度看，系统电抗X越大，系统的环流越小。因此，可以利用无功下垂系数n与电抗X之间的关系，对无功电流引入额外的电抗，那么将式（2.50）改写成：其中，Q ₁ 包括虚拟电抗上的感性无功。同样原理，可以加入虚拟电阻r ₁ ，那么式（2.50）变成：

2）两台不同容量的逆变器并联控制策略

在微电网系统中，由于微电源的容量可能存在不同的情况下，需要各台逆变器按照它们的容量比例输出功率[ ^143，144 ]。因此，有必要进一步研究不同容量的多台逆变器并联运行的控制策略。调整各台逆变器输出电压相角δ，可以实现各台逆变器按其容量比例输出有功功率；由于采用虚拟电抗控制方法，且虚拟电抗的大小可以调节，因此通过调整虚拟电抗的大小也可以实现各台逆变器按其容量比例输出有功功率。

（1）调节逆变器输出电压相角

假设微电网系统中各台逆变器输出有功功率的容量比例为：

在各台逆变器的系统阻抗大小相同的情况下，为了保证各台逆变器按照式（2.53）输出有功功率，需要各台逆变器输出电压相角必须满足式（2.54）。假设以两台逆变器并联系统按其容量比例分配有功功率，那么两台逆变器输出的电压矢量如图2.49（a）所示。

其中，E ₁ 、E ₂ 为逆变器1和逆变器2输出电压矢量，I ₁ 、I ₂ 为输出电流矢量，X为虚拟电抗值。

根据U-Q下垂控制的调节作用，两台逆变器并联运行时不能保证在各台逆变器输出无功功率为0的情况下，使得其输出不同幅值的电压矢量，因此两台逆变器输出电压矢量应该如图2.49（b）所示，从图中可以看出，两台逆变器之间存在无功环流[ ¹⁴⁵ ]，输出有功功率小的逆变器向输出有功功率大的逆变器发出无功功率，设其无功功率为Q _c ，则有：

因此，可以推出两台逆变器并联之间的无功环流：

从式（2.56）可以看出，系统的无功功率环流与无功下垂系数（n ₁ 、n ₂ ）和功角（δ ₁ 、δ ₂ ）有关，负载有功功率大小影响了稳态无功环流的大小。在负载动态变化过程中，当负载突然增大时，交流母线电压矢量突然滞后逆变器输出电压一个角度Δδ，如图2.49（c）所示。如果两台逆变器并联运行，那么各台逆变器输出有功功率的增加量相同（都正比于Δδ），逆变器在动态过程并没有按照其容量比例来输出功率，导致容量较小的逆变器承担的功率增量过大，严重时可能导致逆变器出现过流，造成逆变器无法正常工作。

（2）调节系统虚拟电抗

调节逆变器输出电压相角的方法出现稳态无功环流的主要原因是各台逆变器在调节输出电压相角δ的同时，逆变器输出电压矢量的幅值也跟随着变化，不同容量的逆变器输出电压的相角不同，其输出电压的幅值也必然不同，那么U-Q下垂曲线的调节将造成各台逆变器之间出现无功功率环流。因此，造成系统无功环流的根本原因是各台逆变器在调节有功功率时无法保证各台逆变器输出电压幅值相同。为了保证各台逆变器在调节有功功率的时候保持其输出电压幅值相同，那么各台逆变器输出电压相角δ必须保持相同，否则无法保证各台逆变器按照其容量比例精确匹配负载有功无功功率。按照式（2.35）或者式（2.38）表达的有功功率，为了让各台逆变器在输出不同功率的时候能够保证其相角也相同，因此必须调整逆变器的虚拟电抗X _x ，其包括了逆变器输出电抗与线路电抗的总和。当采用虚拟电抗代替传统的物理电抗后，系统电抗值在一定范围内是可调的，所以通过调整各台逆变器的系统阻抗，可以实现各台逆变器按其容量比例输出功率，各台逆变器的虚拟电抗与其容量存在以下关系：

因此，在系统达到稳态时，输出的电压矢量如图2.49（d）所示，当各台逆变器在输出电压的幅值和相位相同时，假设其输出电压幅值为E，电压矢量相角为δ，输出有功功率的比值应该满足以下关系：

各台逆变器不仅能够按照其容量比例输出有功功率，而且逆变器输出电压幅值相同，能够保证系统稳态时没有无功环流。在系统动态变化过程中，当负载突然增大时，交流母线电压矢量滞后了一个角度Δδ，其对应的输出有功功率的增加量应该满足以下关系：

根据上述理论分析和公式推导可知，系统处于动态变化时，其输出功率变化量仍然与逆变器容量成正比关系，因此能够保证各台逆变器按照其容量比例实现功率精确分配。

3）系统稳定性分析

下垂控制策略是借鉴了同步发电机功率调节的下垂特性而提出的，但由于逆变器并联运行系统的惯性较小，参数的选择对系统稳定性的影响较为敏感。因此，有必要分析下垂控制系数与逆变器输出功角对多台逆变器并联控制系统稳定性的影响[ ¹⁴⁶ ]。目前主要采用小信号建模结合根轨迹分析的方法进行系统稳定性的分析。

首先对有功功率和无功功率方程进行局部线性化处理后得到：

其中，F _L （s）为功率观测中的二阶低通滤波器。

然后对有功下垂曲线和无功下垂曲线进行线性化处理，得到：

将式（2.61）代入式（2.60）中，同时消去P＾、Q＾和E＾，且假设ω＾＝ sδ，则得到系统的特征方程：

其中各系数如下：

按照控制系统的仿真参数，取滤波器截止频率ω _c ＝ 125.664 rad ／ s，品质因数Q ＝0.707，逆变器输出电压有效值和交流母线电压有效值为E ≈U ＝ 311 V，利用根轨迹法分别对下垂控制系数m、n和电压相角δ对系统稳定性、动态性能的影响进行分析。

系统的特征方程（2.78）是一个5阶的特征方程，当m ＝ 2.4 × 10 － ⁴ ，n ＝ 1.2 × 10 － ³ ，δ ＝ 0.17 rad时，系统的特征根在复平面的分布情况如图2.50所示，其中系统有一个负实数根和两个共轭复数根。

对有功下垂控制系数m的分析：在其他控制参数不变的情况下，当有功下垂控制系数m在1 × 10 － ⁵ ≤ m ≤ 0.02范围内变化时，特征方程的极点变化情况如图2.51（a）所示。从图中可以看出，随着有功下垂控制系数m的逐渐增大，系统的实数极点远离虚轴，而其中一对共轭极点逐渐靠近虚轴；当m ≈ 3 × 10 － ³ 时，其中一对共轭极点进入右半平面，使得系统不稳定。

对无功下垂控制系数n的分析：在其他参数不变的情况下，当无功下垂控制系数n在1 × 10 － ⁴ ≤ n ≤ 0.02范围内变化时，特征方程的极点变化情况如图2.51（b）所示。从图中可以看出，随着下垂控制系数n的逐渐增大，系统的一对共轭极点逐渐远离实轴，系统的阻尼系数减小，增加了系统动态调节过程的响应时间且超调量变大[ ¹⁵⁵ ]。

对电压相角δ的分析：在其他控制参数不变的情况下，当电压相角δ在0 ≤ δ ≤1.67 rad范围内变化时，特征方程的极点变化情况如图2.51（c）所示。从图中可以看出，相角δ逐渐增大，系统的实数极点逐渐向右移动，直至δ ≈ π ／2时，实数极点进入右半不稳定区域，与同步发电机的静态稳定性相似。当逆变器投入微电网系统运行时，如果逆变器输出电压相角δ偏大，会造成微电网系统逆变器出现电流冲击现象，并导致下垂控制失去稳定。因此，逆变器投入微电网系统运行需要采取预同步控制。

显然，有功下垂控制系数m对系统稳定性有影响，当增加下垂控制系数m时，可能导致系统失去稳定；无功下垂控制系数n对系统稳定性的影响较小，但它的取值对系统阻尼系数存在较大影响，当下垂控制系数n逐渐增大时，系统阻尼系数将逐渐减小，这样将导致系统动态响应变慢且超调量增大，在进行功率动态调节时，不能满足系统的动态响应要求[ ¹⁴⁸ ]；电压相角δ对系统稳定性存在影响，尤其是δ接近90°时，系统将会失去稳定。

4）逆变器并联运行仿真分析

为了验证多台逆变器并联运行时分别采用基于虚拟电抗的下垂控制策略和改进的无功下垂控制策略的可靠性，本节在Matlab ／ Simulink仿真软件下搭建了两台逆变器并联运行的仿真模型，如图2.52所示，其主要由直流电源、三相逆变器桥，控制器、交流负载、LCL滤波器和断路器等组成。

（1）基于虚拟电抗的下垂控制策略仿真分析

微电网系统处于离网模式运行时，两台逆变器按其容量比例各自承担的负载功率可以分别采用调节逆变器输出电压相角和调节系统阻抗的方法来实现。下面对这两种方法进行仿真验证。首先设置逆变器1和逆变器2的输出容量比为5 ∶ 3，在0 s时为7.5 kW，1.5 s时突加系统负载功率7.5 kW，加入虚拟电抗的下垂控制的控制框图如图2.53所示，下垂控制的具体仿真参数见表2.6。

两台逆变器并联运行的仿真结果如图2.54和图2.55 所示。在系统稳态运行时，图2.54（a）表明了采用调节逆变器输出电压相角的方法，逆变器2向逆变器1 输出无功功率；图2.54（b）表明采用调节系统阻抗的方法，两台逆变器输出稳态无功功率均为0，逆变器并联系统中不存在无功环流。

采用调节逆变器输出电压相角时两台逆变器输出的有功功率如图2.55（a）所示。从图中可以看出，在系统功率动态过程中，逆变器输出有功功率没有按照逆变器各自容量比例均分负载有功功率，逆变器2输出有功功率出现明显的超调量；而采用调节系统电抗方法时，逆变器输出有功功率在系统功率动态过程中能够很好地按照逆变器各自容量比例均分负载有功功率，且有功功率的超调量较小。因此，仿真结果证明了采用调节系统电抗的方法能更好地确保两台逆变器并联运行时实现对负载功率的动态精确分配。

（2）改进的无功下垂控制策略仿真分析

根据前面的理论分析可知，改进的无功下垂控制方法能够有效改善逆变器并联系统的无功功率动态响应效果，因此有必要进行仿真验证，并分析改进的无功下垂控制对系统功率动态调节过程中有功、无功解耦控制效果的影响。

在系统有功功率发生突变情况下，仿真参数与表2.7 相同，系统在t ＝ 0 时刻投入负载7.5 kW，在2 s时再突加负载7.5 kW。将两台逆变器下垂曲线的功率微分项系数n _d1 和n _d2 设置为不同数值，仿真结果如图2.56—图2.58所示。

工况1的仿真结果：n _d1 ＝ 0、n _d2 ＝ 0时逆变器1输出的功率波形如图2.56所示。

工况2的仿真结果：n _d1 ＝ 0.000 25、n _d2 ＝ 0.000 5时逆变器1输出的功率波形如图2.57所示。

工况3的仿真结果：n _d1 ＝ 0.002 5、n _d2 ＝ 0.005 时逆变器1 输出的功率波形如图2.58所示。

根据上述对n _d1 和n _d2 所取的三组不同数值仿真得到的结果可知，在下垂控制中引入功率微分项，不仅可以减小系统功率动态调节过程中有功功率的超调量，减少了有功功率的响应时间，而且提高了系统无功功率的调节速度，减小了系统功率动态调节过程中的无功功率环流；但是，通过对比三组不同功率微分项系数取值得到的逆变器输出的无功功率波形可以明显看出，功率微分项系数的取值过大将会导致系统稳态运行时的无功功率振荡。因此，只有合理选取功率微分项系数，才能改善系统功率动态调节响应性能。经过仿真结果的对比后，下垂控制中的功率微分项系数取n _d1 ＝ 0.000 3、n _d2 ＝0.000 5可以获得较好的控制效果。

在系统无功功率发生突变情况下，1.5 s时系统由空载突然增加无功负载4.5 kVar，系统有功功率为0。仿真结果如图2.59和图2.60所示。

工况4的仿真结果：取n _d1 ＝ 0、n _d2 ＝ 0时，即无功下垂控制中没有引入功率微分项，两台逆变器输出的功率波形如图2.59所示，两台逆变器输出的有功功率波形相同。

工况5的仿真结果：当n _d1 ＝ 0.000 25，n _d2 ＝ 0.000 5时，即无功下垂控制中引入了功率微分项，两台逆变器输出的功率波形如图2.60所示，其中两台逆变器输出的无功功率波形如图2.60（a）所示，而两台逆变器输出的有功功率波形相同，如图2.60（b）所示。

从以上仿真结果对比分析可知，无功下垂控制中引入功率微分项后的无功功率动态调节的响应时间减少，且无功功率超调量减小，无功功率动态调节的响应性能得到显著提高。同时，无功功率动态调节过程中引起的有功功率环流减小，有功功率调整时间减少。

由此可见，在无功下垂控制中引入无功功率微分项，并取合理的下垂控制系数，能够有效地提高无功功率的动态响应性能，也可以有效改善功率动态调节过程中有功、无功功率的解耦控制性能。

（3）多台逆变器并联运行下垂控制仿真分析

为了验证微电网系统处于离网模式下，多台逆变器并联运行的下垂控制策略的控制效果，多台逆变器并联运行时的微电网系统结构如图2.61 所示，新型下垂控制策略仿真参数见表2.7。首先设置逆变器1带负载单机运行，在0.1 s时逆变器2并入运行，在0.25 s时负载2投入，在0.4 s时逆变器3并入并联运行，在0.55 s时负载3投入，在0.65 s时逆变器4并入并联运行，在0.85 s和0.9 s时负载4分别投入和切出，4台逆变器容量相同。

逆变器并联系统进入稳态进行的仿真结果如图2.62—图2.66所示。图2.62为系统各台逆变器功率动态均分波形，从图2.62（a）中可以看出，在0.1 s时刻逆变器2 突然投入并联运行，逆变器1由原来输出有功率6.5 kW降低到3.5 kW，无功功率由1.5kVar降低到0.8 kVar，在0.15 s进入稳定后，逆变器2分配的有功功率为3.5 kW，无功功率为0.8 kVar；图2.62（b）中，在0.25 s时刻，负荷2投入运行，2台逆变器的输出功率均迅速重新分配，各自承担有功功率6.5 kW，无功1.5 kVar；图2.62（c）中，在0.4 s时刻，逆变器3突然投入并联运行且进入稳定后，逆变器1和2的输出有功功率均下降到4.5 kW，无功功率下降到1 kVar；图2.62（d）中，在0.55 s时刻，负荷3投入运行，此时，系统中3台逆变器又各自调整自身的输出功率，快速精确地实现了系统各台逆变器的功率均分，逆变器有功功率调整为6.5 kW，无功功率调整为1.5 kVar；图2.62（e）中，在0.65 s时刻，逆变器4突然投入并联运行，此时系统中4台逆变器同时并联运行，经过各自下垂系数自动调整，约0.05 s后进入稳定运行，4台逆变器各自输出有功功率为5 kW，无功功率为1 kVar；图2.62（f）中，在0.8 s和0.9 s时刻，负荷4分别投入运行和切出运行，在负荷动态变化过程，系统中各逆变器均能快速准确地进行功率分配，保证了系统逆变器并联稳定运行。

图2.63为微电网系统各台逆变器输出功率波形，从图中可以看出，在任何时刻逆变器的投入并联运行，或负荷的投入或切出运行，4台逆变器均自动调整自身的输出功率，且在较短的时间内实现功率稳定输出；从图2.63（e）中能够清楚看到，各台逆变器的输出功率实现了动态调整功能，体现了本书采用的下垂控制策略具有较好的控制效果。

图2.64为系统交流母线电压幅值和频率变化波形。从图2.64（a）可以看出，在0.1 s时刻，逆变器2突然投入并联运行，造成母线电压幅值跌落发生冲击，其幅值变化约为20 V；图2.64（b）中，在0.25 s时刻，负荷2投入运行导致母线电压跌落，其幅值变化约为40 V；图2.64（c）中，在0.4 s时刻，逆变器3突然投入并联运行，造成母线电压幅值跌落再次发生冲击，其幅值变化约为10 V；图2.64（d）中，在0.55 s时刻，负荷3投入运行再次导致母线电压跌落，其幅值变化约为20 V；图2.64（e）中，在0.65 s时刻，逆变器4突然投入并联运行，同样引起母线电压冲击，其幅值变化约为8 V；图2.64（f）中，在0.8 s和0.9 s时刻，负荷4分别投入和切出运行，再次引起母线电压跌落和冲击。在整个动态变化过程中，电压幅值在2％～ 10％范围内变化。图2.64（g）为系统母线频率动态变化波形，从图可知整个变化过程中，系统母线频率大小均维持在50 Hz。

图2.65为系统输出电压电流波形（电流波形幅值放大了20倍），从图中可以看出，在各台逆变器投入并联运行或各负荷投入／切出运行时，系统输出电流跟踪电压波形较好，两者都正弦稳定，且输出电流具有较快的动态跟踪响应性能。

图2.66为系统输出电流波形，由图（a）和（b）可知，在0.1 s时刻逆变器2投入并联运行后，逆变器1输出电流幅值出现明显下降；在0.25 s时刻，负荷2投入后，电流幅值增大，在0.4 s时刻逆变器3投入并联运行，电流幅值再次下降；由图（c）和（d）可知，在0.55 s时刻，负荷3又投入运行，电流幅值又增大；在0.65 s时刻，逆变器4投入并联运行；在0.8 s和0.9 s时刻，负荷4分别投入和切出，电流幅值均出现相应变化。在上述变化过程中，系统各逆变器都能实现电流动态分配，且响应速度较快，输出电流具有较好的鲁棒性。