第3讲
数列求和与数列极限

一、填空题

1.数列1,(1+2),(1+2+2 ² ),…,(1+2+2 ² +…+2 ^{n -1} ),…,前 n 项之和用 n 来表示是___.

2.设 ., n =1,2,3,…,则 a ₁ +a ₂ +… +a ₉₉ 的值为___.

3.若 ,则 的值为___.

4.数列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2,…,其相邻的两个1被2隔开,第 n 对1之间有 n 个2,则数列的前1234项的和为___.

5.如图3-1所示,设正三角形 T ₁ 的边长为 a , T _{n +1} 是 T _n 的中点三角形, A _n 为 T _n 除去T _{n +1} 后剩下的三个三角形内切圆面积之和,则 =___.

6.数列{ a _n }满足 ,则 = ___.

7. k 为正整数, g ( k )表示 k 的最大奇因数(例如 g (3)=3, g (20)=5),则 g (1) +g (2)+ g (3)+… +g (2 ⁿ )(其中 n ∈ N ₊ )= ___.

8.已知一个数列的各项是1或2,首项为1,且在第 k 个1和第 k +1个1之间有 个2,即 1,2,1,2,2,1,2,2,2,2,1,2,2,2,2,2,2,2,2,1,…,则这个数列的前 1998 项的和等于___.

二、解答题

9. n ² ( n ≥4)个正数排成 n 行 n 列,

其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比都相等，已知 a ₂₄ =1, a ₄₂ = , 求 S=a ₁₁ +a ₂₂ +a ₃₃ +… +a _nn .

10.一只蜜蜂从点 P ₀ 开始飞行,它向东飞行1英寸到达点 P ₁ .一旦到达点 P _j ( j ≥1),便立刻向逆时针30 ° 方向飞行 j +1英寸,直接到达点 P _{j +1} .问:当蜜蜂到达点 P ₂₀₁₅ 时,它距点 P ₀ 有多少英寸?

11.已知实数列{a _n }满足: ,且对任意n ∈N ₊ ,有 ,设C为所有满足上述条件的数列{an}的集合.

(1)求 q 的值;

(2)已知{ a _n }⊆ C ,{ b _n }⊆ C ,且存在 n ₀ ≤ m ,满足 a _{n 0} ≠ b _{n 0} ,证明:

(3)设集合 , m ∈ N ₊ ,求 A _m 中所有正数之和. PcLNchvoZ5/L+vkmRGYOLTFSNWx8KWc8mohjJGcJHTCRID8YZPDGVGb5JqXuEImU