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1.(卡特兰恒等式)求证:对于任意正整数 n ,有恒等式
成立.
2.(伯努利不等式)已知 n 为正整数, x >-1,求证:(1 +x ) n ≥1 +nx .
3.作幂塔
,定义
,证明:数列
a
n
单调递增且有上界2.
4.如图2-1所示,有一列曲线 P 0 , P 1 , P 2 ,…,已知 P 0 所围成的图形是面积为1的正三角形, P k +1 是对 P k 进行如下操作得到:将 P k 的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉( k =0,1,2,…),记 S n 为曲线 P n 所围成图形的面积.
求数列{ S n }的通项公式.
图2-1
5.试问,是否存在正整数 m ,它的各位数字之和为2022,而 m 2 的各位数字之和为2022 2 ?
6.2021个点分布在一个圆的圆周上,每个点都标上+1或-1.如果自某点开始,按任一方向绕圆周前进到任何一点时,所经过的数字的和都是正数,则称该点是一个好点.证明:如果标作-1的点数少于674,则圆周上至少有一个好点.
7.已知对任意的
n
∈
N
+
,有
a
n
>0,且
,求证:
a
n
=
n.
8 .证明:任意正的真分数
都可以表示成不同的正整数的倒数之和.
9.将 n 颗石子随意分成两堆,记下两堆石子数的乘积;再将其中一堆分成两堆,记下这两堆石子数的乘积;再将这三堆中的一堆分成两堆,记下这两堆石子数的乘积;这样一直进行下去,直到分成 n 堆,每堆一颗石子为止,求这些乘积之和.
10.已知△ ABC 的三边长都是有理数.
(1)求证:cos A 是有理数;
(2)求证:对任意正整数 n ,cos nA 是有理数.
11.对正整数 n ≥2,求证:任何正整数 m (1≤ m ≤ n 2 , m ≠2, m ≠ n 2 -2)可以写成集合{1,3,…,2 n -1}中不同数的和(这个集合包含前 n 个正奇数),并证明 n 2 -2不能这样写.