第30讲
数学归纳法(二)

1.求证:一个角为120 ° 的等腰三角形,可以分割成 n ( n ≥4)个与它相似的三角形.

2.设 n 是正整数,求证:

3.设 n 是正整数,求证:

4.设数列{ a _n }满足

(1)当 a ₁ =2时,求 a ₂ , a ₃ , a ₄ ,并由此猜想出 a _n 的一个通项公式.

(2)当 a ₁ ≥3时,求证:对所有的 n ≥1,有

(i) a _n ≥ n +2;

(ii)

5. n 个平面最多可以将空间分成多少个部分?

6.设函数 f ( x ), n ∈ N ₊ ,满足 f ( x +1)=sin ,求证:

1- f ( x )< [1- f ( x -1)]( x ≥2).

7.证明:不等式

对任意 x ∈ (0,π)成立.

8.求证：每一个正整数n有一个二进制表示法。也就是说，要证明每一个正整数n能表示为

这里每一个 c _i 都取0或1.

9.设 S 是2002个元素组成的集合, N 为整数,满足0≤ N ≤2 ²⁰⁰² ,求证:可将 S 的所有子集染成黑色或白色,使下列条件成立.

(1)任何两个白色子集的并集是白色;

(2)任何两个黑色子集的并集是黑色;

(3)恰好存在 N 个白色子集.

10.盒中装有红色和蓝色纸牌各100张,每色纸牌都含标数为1,3,3 ² ,…,3 ⁹⁹ 的牌各一张,两色纸牌的标数总和记为 S .对于给定的正整数 n ,若能从盒中取出若干张牌,使其标数之和恰为 n ,便称为一种取牌 n _方案,不同的 n _方案种数记为 f ( n ).求 f (1) +f (2)+… +f ( S )之值.

11.如图30-1所示,将边长为正整数 m , n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形,每个正方形的边均平行于矩形的相应边.求这些正方形边长之和的最小值.