第21讲
证明不等式的基本方法

1.已知正数 a , b , c 满足 a+b <2 c ,求证: c -

2.求证:若 x , y ∈ R ,则 x ² +y ² +xy ≥3( x+y -1)恒成立.

3.设 a , b , c 为正数, α 是实数,求证:

当且仅当 a=b=c 时,等号成立.

4.设 a , b , c 为正数,求证:

5.设正实数 a , b , c 满足 abc =1,求证: a ( a -1) +b ( b -1) +c ( c -1)≥0.

6 .设 x ₁ , x ₂ ,…, x _n ≥-1, =0,求证:

7.设 p , q 是两个不同的素数,正整数 m , n 使得是整数.求证: >1.

8.设实数 a , b , c , d , p , q 满足关系式 ab+cd =2 pq ,求证:如果 ac ≥ p ² >0,则有 bd ≤ q ² .

9.已知实数 a , b 满足9 a ² +8 ab +7 b ² ≤6,求证:7 a +5 b +12 ab ≤9.

10.对任意正整数 n >2,求证: n ⁿ ⁺ ₁ >( n +1) ⁿ .

11.已知 m , n 为正整数.

(1)用数学归纳法证明:当 x >-1时,(1 +x ) ^m ≥1 +mx ;

(2)对于 n ≥6,已知 ,求证: , m =1,2,…, n ;

(3)求出满足等式3 ⁿ +4 ⁿ +…+( n +2) ⁿ =( n +3) ⁿ 的所有正整数 n .