第14讲
解析几何的综合问题

一、填空题

1.已知椭圆 =1,过点 作椭圆的切线 l ,则过椭圆左焦点 F 且垂直于 l 的直线方程为___.

2.已知抛物线 y ² =2 px ( p >0)上两个动点 A ( x ₁ , y 1)( y ₁ >0), B ( x ₂ , y 2)( y ₂ <0).若 OA ⊥ OB ,则线段 AB 的中点的轨迹方程为___.

3 .如图14-1所示,过椭圆 =1上点 P 作圆 x ² +y ² =4的两条切线,切点弦所在直线与 x , y 轴分别交于 E , F ,则△ EOF 面积的最小值是___.

4 .已知椭圆 =1( a > b >0)的离心率为 ,右焦点为圆 =7的圆心.若直线l与曲线C ₁ ,C ₂ 都只有一个公共点,记直线l与圆C ₂ 的公共点为A,则点A的坐标为___.

5.设 P , Q 为圆 x ² +y ² =1上两动点,与圆内一定点 满足∠ PAQ =90 ° ,则过点P和Q的两条切线的交点M的轨迹方程为___.

6.如图14-2所示,从直线 =1上任意一点 P 向椭圆 =1引切线 PA ,PB,切点分别为A,B,则线段AB中点M的轨迹方程为___.

7.已知过点 M (9,0)与椭圆 C : x ² +2 y ² =9相切的直线分别为 l ₁ , l ₂ ,又知直线 l : y=x +b 与椭圆 C 相交于 A , B 两点,与 l ₁ , l ₂ 分别交于点 M , N ,若 ,则 b =___.

8.如图14-3所示, P 是抛物线 y ² =2 x 上的动点,点 B , C 在 y 轴上,圆( x -1) ² +y ² =1内切于△ PBC ,则△ PBC 面积的最小值为___.

二、解答题

9.过点 P (0,1)作一直线 l , l 与抛物线 y=x ² 交于 A , B 两不同点,过点 A , B 分别作抛物线 y=x ² 的切线,两切线交于点 Q .求点 Q 到直线 AB 距离的最小值.

10.已知抛物线 C ₁ 的顶点 ,焦点 ,另一抛物线 C ₂ 的方程为 y ² - ay+x +2 b =0, C ₁ 与 C ₂ 在一个交点处的切线互相垂直.求证: C ₂ 必过定点.并求该点的坐标.

11 .过直线l:5x-7y-70=0上的点P作椭圆 =1的切线PM,PN,切点分别为M,N,连接MN.

(1)当点 P 在直线 l 上运动时,证明:直线 MN 恒过定点 Q ;

(2)证明:当 MN ∥ l 时,定点 Q 平分线段 MN . LrhXJtr9fFKD6q4Llg8Nav0rrvtTnvWfMo2NXZkFNcSvpKo4RTpVFC1CnBVMbfUr