第13讲
曲线系

1.不论 t 取何值,直线( t +1) x -(2 t +5) y -6=0始终过定点 A ,则 A 点的坐标是___.

2.已知双曲线 Γ 与双曲线 =1有共同渐近线,且经过点(-1,3),则双曲线 Γ 的方程为___.

3.不论 m 取何实数,直线系(3 m -2) x -( m -2) y -( m -5)=0恒过一个定点,则此定点的坐标为___.

4.已知双曲线的渐近线方程是 ,并且通过点(3,4),则这个双曲线的方程是___.

5.已知☉ O 过两圆 x ² +y ² +4 x -3=0与 x ² +y ² -4 y -3=0的交点,若圆心 O 在直线2 x - y -4=0上,则☉ O 的方程为___.

6.已知一椭圆长、短轴均平行于坐标轴,且与直线2 x+y =11相切于点 P (4,3),又知该椭圆经过点 ,则椭圆的方程为___.

7.已知圆 C ₁ : x ² +y ² -2 mx -2 my+m ² -1=0和圆 C ₂ : x ² +y ² +2 x +2 y -2=0交于 A , B 两点,且这两点平分圆 C ₂ 的圆周,则圆 C ₁ 的圆心的轨迹方程为___.

8.圆 x ² +y ² =1上任意一点 P (cos θ ,sin θ )的切线与 x , y 轴分别交于 A , B ,以 A , B 两点为顶点,且中心在原点的椭圆为 C ,若 θ ∈ (0,2π),则椭圆 C 必过定点的坐标为.

9.如图13-1所示,已知椭圆 =1的左右顶点为 A , B ,过焦点的直线与椭圆交于 C , D 两点，与 x 轴交于点 P ,直线 AC 与直线 BD 交于点 Q ,当点 P 异于 A , B 两点时，证明: 为定值.

图13-1

10.如图13-2所示,在△ ABC 中,已知 BC < AC , M 是边 AB 的中点,过点 A , B 分别作 AP ⊥ BC , BQ ⊥ AC ,垂足分别为 P , Q , PQ 与 AB 的延长线交于点 T .若 H 是△ ABC 的垂心,证明: TH ⊥ CM .

图13-2

11.设 A , B 是双曲线 = λ 上的两点,点 N (1,2)是线段 AB 的中点,线段 AB 的垂直平分线交双曲线于 C , D 两点.

(1)确定 λ 的取值范围;

(2)试判断 A , B , C , D 四点是否共圆?并说明理由.