第12讲
参数方程与极坐标

1.设 A , B 是椭圆 x ² +3 y ² =1上的两个动点,且 OA ⊥ OB ( O 为坐标原点),则 AB 的最大值和最小值的乘积为___.

2 .如图12-1所示,已知椭圆 =1( a > b >0),过椭圆上一点 M 作圆 x ² +y ² = b ² 的两条切线，切点分别为 P , Q ,直线 PQ 与坐标轴的交点分别为 E , F ,则△ EOF 面积的最小值是___.

图12-1

3.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的方程为 =1, F 为 C 的上焦点, A 为 C 的右顶点, P 是 C 上位于第一象限内的动点，则四边形 OAPF 面积的最大值为___.

4.过双曲线 x ² - y ² =1的右焦点 F 作一条与右支相交的弦 MN , P 为弦 MN 的中点,则点 P 的轨迹方程为___.

5.设经过定点 M ( a ,0)的直线 l 与抛物线 y ² =4 x 相交于 P , Q 两点,若为常数,则 a 的值为___.

6.已知 P 是正方形 ABCD 内切圆上的一点,记∠ APC=α ,∠ BPD =β ,则tan ² α +tan ² β =___.

7.设椭圆 Γ 的两个焦点是 F ₁ , F ₂ ,过点 F ₁ 的直线与 Γ 交于点 P , Q .若 ,且 ,则椭圆 Γ 的短轴与长轴的比值为___.

8.如图12-2所示,已知 A , B , C 为圆 O ( O 为坐标原点)上不同的三点，且∠ AOB = ,若 ,则当 λ+μ取最大值时, =___.

图12-2

9.已知椭圆 E : =1的左焦点为 F ₁ ,过 F ₁ 的直线 l 与椭圆 E 交于 A , B 两点, Q -_29 0.若 ,求直线 l 的斜率.

10.抛物线 y=x ² 与过点 P (-1,-1)的直线 l 交于 P ₁ , P ₂ 两点.

(1)求直线 l 的斜率 k 的取值范围;

(2)求在线段 P ₁ P ₂ 上满足条件的点 Q 的轨迹方程.

11 .在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C: =1,过点P(2,2)作直线l1 和l2 与椭圆C分别交于A,B和C,D,且直线l ₁ ,l ₂ 的斜率互为相反数.

(1)证明: PA · PB=PC · PD ;

(2)记直线 AC , BD 的斜率分别为 k ₁ , k ₂ ,求证: k ₁ +k ₂ 为定值.