第11讲
抛物线

一、填空题

1.已知抛物线 P 以椭圆 E 的中心为焦点, P 经过 E 的两个焦点,并且 P 与 E 恰有三个交点,则 E 的离心率等于___.

2.设抛物线 C : y ² =4 x 的焦点为 F ,过点 F 的直线 l 与 C 交于 P , Q 两点,设 l 与抛物线 C 的准线交于点 M ,且 ,则 = ___.

3.设圆 O : x ² +y ² =5与抛物线 C : y ² =2 px ( p >0)交于点 A ( x ₀ ,2), AB 为圆 O 的直径,过 B 的直线与 C 交于两个不同点 D , E ,则直线 AD 与 AE 的斜率之积为___.

4.已知Rt△ ABC 的三个顶点 A , B , C 均在抛物线 y=x ² 上,并且斜边 AB 平行于 x 轴,则斜边 AB 上的高 CD 等于___.

5.设 O 为原点, A 为抛物线 x = +1上的动点, B 为抛物线 y=x ² +4上的动点,则△ OAB 面积的最小值为___.

6.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ² =2 x 的焦点为 F .设 M 是抛物线上的动点,则 的最大值为___.

7.如图11-1所示,已知抛物线 y ² =2 px ( p >0)的焦点为 F ,准线为 l ,过点 F 的直线与抛物线交于 A , B 两点,且 =3 p .设点 A , B 在 l 上的射影分别为 A' , B' ,如果向四边形 AA'B'B 内任投一点 M ,则点 M 落在△ FA'B' 的概率是___.

8.在直角坐标系 xOy 中,有抛物线 C _i : y=a _i x ² +b _i x+c ( i =1,2,…,20),抛物线 对任意实数 a _i , b _i , ,这40条抛物线把坐标平面分成的区域块数最多为___.

二、解答题

9.已知抛物线 E : y=x ² 的焦点为 F ,过 y 轴正半轴上一点 M 的直线 l 与抛物线 E 交于 A , B 两点, O 为坐标原点,且 =2.

(1)求证:直线 l 过定点;

(2)设点 F 关于直线 OB 的对称点为 C ,求四边形 OABC 面积的最小值.

10.如图11-2所示,点 A 与点 A' 在 x 轴上,且关于 y 轴对称,过点 A' 且垂直于 x 轴的直线与抛物线 y ² =2 x 交于两点 B , C ,点 D 为线段 AB 上的动点，点 E 在线段 AC 上，满足

(1)证明:直线 DE 与抛物线有且仅有一个公共点;

(2)设直线 DE 与抛物线的公共点为 F ,记△ BCF 与△ ADE 的面积为 S ₁ , S ₂ ,求 的值.

11.如图11-3所示,曲线 C ₁ 是以原点 O 为中心、 F ₁ 和 F ₂ 为焦点的椭圆的一部分,曲线 C ₂ 是以 O 为顶点、 F ₂ (1,0)为焦点的抛物线的一部分, 为曲线 C ₁ 与 C ₂ 的交点.

(1)求曲线 C ₁ 与 C ₂ 所在的椭圆与抛物线的方程.

(2)过点 F ₂ 作一条与 x 轴不垂直的直线,分别与曲线 C ₁ , C ₂ 交于点 B , C , D , E .

①求△ CDF ₁ 面积的取值范围.

②若 G , H 分别为 CD , BE 的中点,问: 是否为定 CD · HF ₂ 值？若是，求出定值；若不是，说明理由. PcLNchvoZ5/L+vkmRGYOLTFSNWx8KWc8mohjJGcJHTCRID8YZPDGVGb5JqXuEImU