第9讲
椭圆

一、填空题

1.过椭圆 x ² +2 y ² =3的一个焦点作斜率为 k 的直线,交椭圆于 A , B 两点,若 AB =2,则 k =___.

2 .若椭圆 =1( a > b >0 )恒过定点 ,且其长轴长的取值范围是 ,则椭圆的离心率的取值范围是___.

3.在椭圆 Γ 中, F 为一个焦点, A , B 为两个顶点.若| FA |=3,| FB |=2,则| AB |的所有可能值为___.

4.设 A , B 为椭圆 Γ 的长轴顶点, E , F 为 Γ 的两个焦点, , P 为 Γ 上一点,满足 =2,则△ PEF 的面积为___.

5.设椭圆 C 的左、右顶点为 A (-2,0), B (2,0),过右焦点 F (1,0)作非水平直线 l 与椭圆C交于P,Q两点,记直线AP,BP的斜率分别为k ₁ ,k ₂ ,则 的值是___.

6.已知动直线 l 与圆 O : =1相切,与椭圆 =1相交于不同的两点 A , B ,则原点到 AB 的中垂线的最大距离为___.

7.如图9-1所示,已知椭圆的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 ,且过点 .设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P , Q 两点，且直线 OP , PQ , OQ 的斜率构成等比数列，则△ OPQ 面积的取值范围为___.

8.已知圆 x ² +y ² =8围成的封闭区域内(含边界)的整点(坐标均为整数的点）数是椭圆 x =1围成的封闭区域内(含边界）整点数的 ,则正实数 a 的取值范围是___.

二、解答题

9.已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ,且经过点 ,过点P(2,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B.

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)是否存在直线 l 满足 若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

10. 如图9-2所示，设椭圆C: =1(a>b>0)经过点 ,离心率为 ,直线l经过椭圆C的右焦点F,与椭圆C交于A,B两点，点A,F,B在直线x=4上的射影依次为D,K,E.

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)连接 AE , BD ,当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 是否交于定点?若是,求出定点的坐标并给予证明;否则,说明理由.

11 .已知椭圆C : =1(a>b>0)与直线 有且只有一个交点，点P 为椭圆C上 一点任,P ₁ (-1,0),P ₂ (1,0),且 的最小值为 .

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)设直线 l : y=kx +m 与椭圆 C 交于不同两点 A , B ,点 O 为坐标原点,且 ,当△ AOB 的面积 S 最大时,求 的取值范围. SxIQk1SL1slh2Wk6Z/BzNsHWUJ2ZG6k62mKvWF9hbAeRst5UR4TT+Jid2B2XeKLw