第7讲
空间向量及其应用

一、填空题

1.在空间中,四条不共线的向量 .两两间的夹角均为 α ,则 α=___ .

2.在正方体 ABCD - A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 中, E 为 AB 的中点, F 为 CC ₁ 的中点,则异面直线 EF 与 AC ₁ 所成角的余弦值是___.

3.在四面体 P - ABC 中,棱 PA , PB , PC 两两垂直,且 PA=AB=AC , E , F 分别为线段AB,PC的中点,则直线EF与平面PBC所成角的正弦值为___.

4.如图7-1所示,正方体 ABCD - EFGH 的一个截面经过顶点 A , C 及棱 EF 上一点 K ,且将正方体分成体积比为3∶1的两部分,则 的值为___.

5.在三棱锥 P — ABC 中,三条棱 PA , PB , PC 两两垂直,且 PA =1, PB =2, PC =2,若点 Q 为三棱锥 P — ABC 外接球的球面上任意一点,则 Q 到面 ABC 距离的最大值为___.

6.在边长为1的正方体 ABCD — A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 内部有一小球,该小球与正方体的对角线 AC ₁ 相切，则小球半径的最大值为___.

7.已知在棱长为1的四面体 P — ABC 中, PC 的中点为 D ,动点 E 在线段 AD 上,则直线BE与平面ABC所成角的取值范围是___.

8.在正方体 ABCD -A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 中,设顶点 A 关于平面 C ₁ BD 和直线 B ₁ D 的对称点分别为 P , Q ,则直线 PQ 与平面 A ₁ BD 所成角的正弦值为___.

二、解答题

9.如图7-2所示,在三棱锥 D - ABC 中,△ ACD 为正三角形,平面 ACD ⊥平面 ABC , AD ⊥ BC , AC=BC =2.

(1)求证: BC ⊥ AC ;

(2)若 E 是 CD 的中点,求直线 CD 与平面 ABE 所成角的正弦值.

10.已知 ABCD - A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 是一个长方体,从点 A 到直线 A ₁ B , A ₁ C , A ₁ D 的垂线分别交直线 A ₁ B ₁ , A ₁ C ₁ , A ₁ D ₁ 于点 M , N , P ,垂足分别为 E , G , F .求证:

(1) M , N , P 三点共线;

(2) PE , MF , AN 三条直线交于一点.

11.如图7-3所示，在直三棱柱ABC-A ₁ B ₁ C ₁ 中,AB=AC=5,D,E分别为BC,BB ₁ 的中点，四边形B ₁ BCC ₁ 是边长为6的正方形.

(1)求证: A ₁ B ∥平面 AC ₁ D ;

(2)求证: CE ⊥平面 AC ₁ D ;

(3)求二面角 C - AC ₁ - D 的余弦值.