第5讲
数论中的著名定理

1．求证：2730|n ¹³ -n。

2．求出大于1的整数n的个数，使得对任意的整数a，都有n|a ²⁵ -a。

3．求所有正整数n(1≤n≤2021)，使得10|1 ⁿ +2 ⁿ +3 ⁿ +4 ⁿ 。

4．求证：n为素数的充要条件是σ(n)+φ(n)=nd(n)。其中σ(n)是n的正因子之和，φ(n)是不超过n且与n互素的正整数的个数，d(n)是n的正因子个数。

5．求证：若n为大于1的自然数，则2 ⁿ -1不能被n整除。

6．求出一个正整数n，使得n,n+1,n+2,…,n+20中的每一个数都与30030有大于1的公因数。

7．是否存在2021个不同的正整数k ₁ ,k ₂ ,…,k ₂₀₂₁ ，使得对任何正整数n≥2020，总有k ₁ 2 ⁿ +1,k ₂ 2 ⁿ +1,…,k ₂₀₂₁ 2 ⁿ +1之一为素数 ?

8．记s(n)表示十进制下各位数字之和，问是否对所有的n ∈ N ₊ 都存在一个n的倍数'n，使s(n')|n'。

9．设a _n 定义如下：a ₁ =0,a ₂ =1,a _n+2 =a _n+1 +a _n +1(n≥1)。求证：若n>5且为素数，则n整除a _n (a _n +1)。

10．设S=p ₁ ,p ₂ ,…,p _k ，其中的元素为k个不同的奇素数。

(1)若S'为 -1的全体素因子的集合，求证：S⊆S'。

(2)确定并证明，对怎样的S，有S⊇S'?

11．当且仅当x与y互素时，一个格点(x,y)∈ Z ² 从原点处“可见”。求证：对于任意正整数n，都存在一个格点，它与任意“可见”的格点的距离都大于n。