第4讲
同余

1．3 ¹⁰⁰⁰ 在十进制中的最后四位是__________。

2．(7 ²⁰²⁰ +36) ⁸¹⁸ 在十进制中的个位数字为__________。

3．若60≡90≡125(modN)，则81≡__________(modN)(N≥2)。

4．有两个两位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个两位数为__________。

5．有一个整数的首位是7，当7换至末位时，得到的数是原数的三分之一，则原数的最小值是__________。

6．除以31的余数为__________。

7．写出所有公差是8的三项等差素数数列。

8．已知p为素数，n ∈ N ₊ 。求证：

9．设a ₁ ,a ₂ ,…,a ₁₀₀ 是1,2,…,100的一个排列，对于1≤i≤100，令b _i =a ₁ +a ₂ +…+a _i ,r _i 是b _i 除以100所得的余数。求证：r ₁ ,r ₂ ,…,r ₁₀₀ 至少取11个不同的值。

10．设x,y是使xy-1能被素数p整除的整数。以(x,y)为坐标的那些点，如果有三点在一条直线上，求证：这三点中至少有两点，它们的横坐标之差与纵坐标之差都能被p整除。

11．连接正n边形的顶点，得到一条闭合的n折线。求证：若n为偶数，则连线中有两条平行线；若n为奇数，则连线中不可能恰有两条平行线。

12．设p >3为素数，求证：若1+ +…+ + = ,(r,s)=1，则p ³ |r-s。