第3讲
素数、合数与算术基本定理

1．已知n ∈ N ₊ ，且2n+1与3n+1都是完全平方数，问：5n+3能否为素数？

2．已知p为正整数，且p与8p ² +1是素数，求证：8p ² -p+2也是素数。

3．求所有素数p，使得是完全平方数。

4．设p与q为素数，且满足p ³ +q ³ +1=p ² q ² ，求p+q的最大值。

5．设n为大于1的正整数，求证：n ⁵ +n ⁴ +1不是素数。

6．正整数x,y分别有18个、12个因子，已知它们的最大公因数为24，请问它们的最小公倍数是多少？

7．如果p和q是两个素数，并且q=p+2，求证：p ^q +q ^p 能被p+q整除。

8．求证：所有形如（这里m,n是正整数，1≤m <n<1986，且m,n都能被3整除）的数之和不是整数。

9．数列a ₁ ,a ₂ ,…按如下法则构造：a ₁ =2，而对于每个n≥2,a _n 等于a ₁ a ₂ …a _n-1 +1的最大素因数。求证：该数列中任何一项都不等于5。

10．已知n是不小于3的正整数，正整数x ₁ <x ₂ < …<x _n <2x ₁ ,p=x ₁ x ₂ …x _n 。求证：若r是素数，k为正整数，并且r ^k |p，则 ≥n!。

11．求出所有不超过10 ⁷ 的正整数n(n>2)，使得任何与n互素且满足1<m<n的整数m都是素数。

12．若p是比3大的素数，且k= ，求证：p ² | 。