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1．和式
的值为__________。
2．方程[
]+[
]+…+[
]=400的正整数解为__________。
3．已知{x}=x-[x]（[x]表示不超过x的最大整数），设方程
-2012x={x}的两个不同实数解为x
1
,x
2
，则2013
2
×(x
1
+x
2
)=__________。
4．若a为正数，[a]表示a的整数部分，而a=a-[a]，如果a,[a],{a}顺次组成等比数列，则a=__________。
5．设N=2
4012
，则不超过
的最大整数为__________。
6．用a
n
表示最接近
的正整数，这里n∈
N
+
。记S=
，则[S]=__________。
7．设n是正整数，计算和式
。
8．求证：对任意n ∈
N
，有[
+
]=[
]。
9．求证：方程[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12345没有实数解。
10．已知一个长方形盒子，可用单位立方体填满。如果改放尽可能多的体积为两个单位的立方体，而且其棱与盒子的棱平行，则盒子的容积恰被填满40%，试求出具有此种性质的长方形盒子的大小(
=1.2599)。
11．对于任意n ∈ N (n >1)，求证：
12．设a
n
=[
]，其中[x]表示不超过x的最大整数，求证：
(1)有无穷多个正整数m，使a m+1 -a m >1;
(2)有无穷多个正整数m，使a m+1 -a m =1。