第1讲
整除

1．一个糖果店里卖的糖果有3种包装，其中小包有6颗，中包有9颗，大包有20颗。如果只能整包购买糖果，问：最多不能购买到的糖果数是多少颗？

2．求3个不同的正整数a,b,c，使得，且[a,b,c]最小。

3．设m,n为给定的正整数，且mn|m ² +n ² +m，求证：m是一个完全平方数。

4．求证：对任何正整数n和k，数f(n,k)=2n ³ ^k +4n ^k +10都不能分解成若干个连续正整数之积。

5．若一个四位数为完全平方数，且每位数码减去相同的值后，得到的四位数还是完全平方数，求所有这样的四位数之和。（不同的四位数减去的值可以不一样）

6．已知一个凸四边形的各边长均为整数，并且任何一边的长都能整除其余三边长度之和。求证：这个四边形必有两边相等。

7．斐波那契数列定义如下：f ₁ =f ₂ =1,f _n =f _n-1 +f _n-2 (n>2)。假设正整数a,b满足条件：min < <max 。求证：b≥f _n+1 。

8．设a,b,m,n为正整数，且a>1,(a,b)=1。求证：如果a ⁿ +b ⁿ |a ^m +b ^m ，那么n|m。

9．求出所有具有下列性质的正整数n：存在数列x _n 使1,2,…,n各出现一次并且对于k=1,2,…,n，有k x ₁ +x ₂ +…+x _k 。

10．已知数列a _n 且a ₀ =2,a ₁ =1,a _n+1 =a _n +a _n-1 。求证：若p是a _2k -2的素因子，则p也是a _2k+1 -1的素因子。

11．求所有的正整数x,y，使是一个非负整数。

12．证明：存在无穷多对正整数a,b(a >b)满足下列性质：

(1)(a,b)=1;

(2)a|b ² -5,b|a ² -5。