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1．在一个2021×2021的方格表中，每个格子均被染成黑色或白色之一，下面可以进行如下操作：选取一个3×3或4×4的小正方形，将其内部的9个或16个方格颜色全部改变（黑变白，白变黑）称为一次操作。请问，是否不论初始条件如何，都一定能通过若干次操作，使得所有方格都变白？
2．给定正整数k，甲乙两人轮流在9×9的方格表中填数，甲每次可以选择一个空方格填入0，乙每次可以选择k个空方格并依次填入1。若在操作的过程中出现每行每列的所有数之和都是奇数，则乙获胜，若所有格子都被填入数之后此状态还未出现，则甲获胜。求最小的正整数k，使得乙有必胜策略。
3．求最小的正整数n，使得可以将25×25的棋盘n染色并满足：任取一个不是最右边一列也不是最上面一行的格子A，在A的正上方任取一个格子B，在A的正右方任取一个格子C，均有A,B,C不全同色。
4．一个N×N的方格表的每个格都填有一个0，现可进行如下操作：擦去某行或某列的所有数字，然后将1,2,…,N按任意顺序填入这些格中。经过有限次操作后，求所有方格中数字之和的最大可能值。
5．求所有的正整数n，使得存在正整数N,a,b(a≠b)满足下列条件：可以将N×N的正方形分成n个a×b或b×a的矩形，且两种矩形都要出现。
6．有一百万头牛分别位于1000×1000网格的各个格子中，每格里一头牛。将该网格的左右两边粘在一起，上下两边也粘在一起。有些牛是诚实的，总是说实话；而其余的牛是不诚实的，从不说实话。这一百万头牛中的每头牛均宣称：与我相邻的牛中至多有一头是诚实的。我们称一对相邻的牛为“牛仔对”，如果其中恰有一头牛是诚实的。求此网格中牛仔对的最小可能值。
注：如果两头牛所在的网格(x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 )满足如下条件：x 1 =x 2 且y 1 -y 2 ≡±1(mod1000)，或者x 1 -x 2 ≡±1(mod1000)且y 1 =y 2 ，则称它们是“相邻”的。
7．证明：存在正整数N满足对任意正整数n>N，若将一个n×n的方格表用n种颜色染色，每种颜色染n个方格，则存在一个边长为
且边平行于方格表的边的正方形，它至少包含4种颜色的完整方格。
8．坐标平面上每个横纵坐标是整数的点都被染成了1201种颜色之一。已知对任意两点(x 1 ,y 1 )与(x 2 ,y 2 )，若|x 1 -x 2 |+|y 1 -y 2 |≤48，则它们颜色不同。证明：对任意两点(x 1 ,y 1 )与(x 2 ,y 2 )，若它们的一个坐标相同，另一个坐标之差（大减小）小于1201，则它们的颜色不同。