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1．设M是{1,2,…,15}的一个子集，且M中任意3个元素的乘积都不是完全平方数，求|M|的最大可能值。
2．给定有限非空集合A，定义P(A)为A的所有子集组成的集合。设f:P(A)→P(A)满足：若X⊆Y，则f(X)⊆f(Y)。证明：存在A的一个子集T满足f(T)=T。
3．设S={1,2,…,100}，求满足下列条件的最大正整数n：存在S的n个两两不同的子集，使得对于任意两个子集，若它们的交集非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同。
4．取出{1,2,…,2021}的一些子集，使得任意两个被取出的子集的交集都含有3个连续的正整数，求取出的子集数目的最大值。
5．设n是一个大于1的奇数，A 1 ,A 2 ,…,A n 是两两不同的集合，考虑集合T={A i ΔA j |1≤i<j≤n}。证明：|T|≥n。
6．给定正整数n，设A 1 ,…,A k ,B 1 ,…,B l 是一些有限数集（可以有空集），且满足：
(1)A 1 ,…,A k 中任意两个集合不同，B 1 ,…,B l 中任意两个集合不同；
(2)k+l>2 n 。
设S={X|∃1≤i≤k,1≤j≤l，使得X⊆A i ∪B j }，求|S|的最小可能值。
7．对于非空数集S,T，定义S+T={s+t|s∈S,t∈T},2S={2s|s∈S}。设n为正整数，A,B是{1,2,…,n}的非空子集，证明：存在A+B的子集D，使得D+D⊆2(A+B)，且
。
8．求所有整数n≥3，使得存在n元集S的三元子集族F满足以下两个条件：
(1)对S中任意两个不同元素a,b,F中恰存在一个集合同时包含a,b;
(2)对S中任意六个不同元素a,b,c,x,y,z，若{a,b,x},{b,c,y}和{c,a,z}都在F中，则{x,y,z}在F中。