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1．黑板上写着三个数2,
,
。在每一次操作中，可以擦掉其中两个数a,b，然后写上
与
。问能否可以通过有限次操作，使得黑板上的三个数变为1,
,1+
?
2．在黑板上写数1,2,3,…,2021，每一次操作可从黑板上写的数中擦去某些数，然后写上它们的和除以7的余数。若干次操作之后，黑板上剩下两个数，其中之一是410，问另一个数是多少？
3．设m,n是两个互素的正整数，且m>n。现有m个小孩，每个小孩手中有一些糖。现在可以给这些小孩发糖，规则如下：每次选择n个小孩，给他们每人一块糖。证明：可以经过有限次发糖，使得每个小孩拥有的糖块数相同。
4．设p,q是两个给定的正整数，在一个任意大的棋盘上考虑一个一般化的“马”，它每跳一次可以从棋盘上一个p×q的矩形的一角跳到对角（即其中一个坐标增加或减少p，另一个坐标增加或减少q）。证明：这样的“马”只有跳偶数次才可以回到它开始的地方。
5．设N是一个正整数，现在有N个格子排成一行，甲乙两人玩下面的游戏：首先甲在每个格子里都填入一个正整数。在每一步中，甲写下一个正整数，然后乙选择一个格子，用这个正整数代替格子中原有的数。若某一步结束后，这N个格子里的数由左至右是不减的（即对每两个相邻格子，左边格子的数小于等于右边格子的数），则游戏结束。问乙是否有办法不依赖甲的选择，在有限步内结束游戏？
6．设n≥2是整数，有2n个人参加一场宴会，每个人在宴会中至少认识n个人（认识是相互的）。证明：可以安排所有的与会者围着一张圆桌坐下，使得相邻的人都认识。
7．设n是一个大于1的整数，黑板上写着1,2,…,n，现在可以做如下操作：擦去黑板上的两个数（记为a,b），然后写下2(a+b)。证明：当黑板上仅剩下一个数时，它一定不小于
。
8．给定正整数n,k，其中k≠1。黑板上有n个数排成一排，甲乙两人玩下面的游戏：甲每次选取一个数或者连续的一些数，乙可以将甲所选取的所有数都加1，也可以将这些数都减1，称为一次操作。证明：只要甲的策略得当，他可以在有限次操作后，使得黑板上不是k的倍数的数的个数不超过k-2。