第20讲
染色问题与染色方法

1．求最小的正整数n，使得当以任意方式将K _n 二染色时，总存在两个同色三角形，它们没有公共边（这两个三角形允许是不同颜色的）。

2．求证：将完全图K ₁₁ 三染色之后，或者存在一个三角形三边同色，或者存在一个三角形三边为3种颜色。

3．一个7×7正方形的每个小格都被染成黑色与白色之一，求证：至少存在21个以小格中心为顶点，边平行于大正方形的边，每条边长至少为2，且4个角格同色的矩形。

4．将一个正七边形的每个顶点都染成红色或蓝色之一。证明：存在3个同色的点是一个等腰三角形的3个顶点。

5．将平面上所有的点都染成红蓝两色之一，求证：存在两个相似比为2021的相似三角形，每个三角形的3个顶点同色，且每个三角形都有两条边分别与两个坐标轴平行。

6．把正三角形划分为n ² 个同样的小正三角形，把这些小正三角形的一部分标上号码1,2,…,m，使得号码相邻的三角形有相邻边。证明：m≤n ² -n+1。

7．有一个2021×2021的棋盘和任意多个1×2及1×3的矩形纸片，规定1×2的纸片只能沿着棋盘的格线水平放置，而1×3的纸片只能沿着棋盘的格线竖直放置。请问是否可依上述规定取用一些纸片不重叠地盖满整个棋盘？

8．小明用一些1×1×8的长方体和两个1×2×2的长方体拼成了一个50×50×50的大正方体。证明：两个1×2×2的长方体的2×2的面互相平行。