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1．平面上3000条直线，任意两条都不平行，任意三条都不共点，求证：这些直线将平面分成的区域中，至少有2000块是三角形。
2．一次比赛的所有选手中，有些人互相认识。已知存在整数k≥2满足：所有选手可以分成k组，使得每组中的任意两名选手都不认识，但不可按同样的要求分成k-1组。证明：可以将所有选手分成k组（记为A 1 ,A 2 ,…,A k ），使得每组中的任意两名选手不认识，并选择选手c i ∈A i (i=1,2,…,k)，使得c i 与c i +1认识(i=1,2,…,k-1)。
3．设G是一个有2021个顶点的简单图，对每个顶点v，定义f(v)为满足下列条件的最大正整数n：存在v的n个邻居，这些邻居两两不相邻。求所有f(v)之和的最大可能值。
4．100×100的方格表的每一格内有一只蜜蜂，在某一时刻它们全部飞起并各自降落在方格表的某个格子中（允许同一个格子内落多只蜜蜂，也允许某些蜜蜂不动）。已知对于任意两只起飞前在相邻（这里的相邻指具有公共边或公共顶点）格子中的蜜蜂，它们或者落在同一个格子中，或者落在相邻的两个格子中。试证明：一定有一只蜜蜂，它或者没有移动，或者飞到了其所在格子的某相邻格子中。
5．整数n,k满足n≥k≥3。某个年级有2n名学生，其中每名学生恰有k个朋友（朋友是相互的）。证明：可以将这些学生分成两个班，每个班有n名学生，且每名学生在他自己的班级里至少有一个朋友。
6．设k是一个大于1的整数，S是一个k元集合，f
1
,f
2
,…,f
k
是S→
R
的映射。对于1≤n≤k，定义由S的两两不同的元素组成的序列(A
1
,A
2
,…,A
n
)是一个“n-好的”序列，若对任意由S的两两不同的元素组成的序列(B
1
,B
2
,…,B
n
)，都有
。
设(A 1 ,A 2 ,…,A m )是一个“m-好的”序列，其中1≤m≤k-1，证明：存在一个“(m+1)-好的”序列(C 1 ,C 2 ,…,C m+1 )满足{A 1 ,A 2 ,…,A m }⊆{C 1 ,C 2 ,…,C m+1 }。
7．给定正整数n，选出集合{1,2,…,n}的一些子集，已知这些子集满足下列性质：任意两个子集最少有2个公共元素，任意3个子集最多有3个公共元素。证明：选出的子集不超过100n 2 个。
8．一个n阶完全图被拆成了n个小完全图，每个小完全图的点数均不小于3。证明：这些小完全图的点数均相同。