第17讲
抽屉原理

1．任意给定十个整数。求证：可以用减、乘两种运算把它们适当连起来，使得其结果能被1890整除。

2．平面上任意给定6个点，其中任意3点不共线。求证：总能从中选出3个点，使得以这3个点为顶点的三角形的内角中有不超过30°的角。

3．设A是一个16位的正整数。求证：可从A中取出连续若干位数字，使得其乘积是平方数（例如，若A的某位数字是4，那么可以取这个数字）。

4．在前300个正整数中任意选取102个数，证明：其中一定存在两个数，其差的绝对值大于100且小于200。

5．斐波那契数列{F _n }的定义如下：F ₀ =F ₁ =1,F _n+1 =F _n +F _n-1 (n≥1)。现给定素数p，试证明：

(1)存在正整数m，使得F _a+m ≡F _a (modp)对任意非负整数a均成立；

(2)存在正整数k，使得p|(F _k +1)，且p|(F _k+1 -1)。

6．设n是2的方幂。证明：从任意2n-1个正整数中可选出n个数，使得它们的和被n整除。

7．一个正十二面体的每个面均为正五边形，有20个顶点，每个顶点均是3条棱的交点。假设标记出了这20个顶点中的10个。证明：可以旋转这个正十二面体，使得正十二面体的像就是它自身，且最多有4个被标出的点的像还是被标出的点。

8．设k是一个正整数，奇数n满足3≤n≤8k+5。考虑一个正n边形，在其每个顶点处都放置一枚黑子或一枚白子。定义交换某两个顶点处的棋子为一次操作。证明：无论棋子如何摆放，总可以经过至多k次操作，使得这些棋子的颜色关于正n边形的某条对称轴对称。