第16讲
反证法

1．设a ₁ ,a ₂ ,…,a ₉₉ 是1,2,…,99的一个排列。证明：存在1≤i<j≤99，使得。

2．称一个由4个正整数构成的集合为“特殊的”集合，如果其中两个数的乘积比另外两个数的乘积恰好多1。证明：对任意正整数n，集合{1,2,…,4n}无法划分成n个“特殊的”集合。

3．一个长方体被切成了有限个（至少2个）小正方体。证明：必然存在两个小正方体的边长相同。

4．设p是一个素数，整数a ₁ ,a ₂ ,…,a _p 的和不是p的倍数。证明：存在整数1≤i≤p满足数a _i ,a _i +a _i+1 ,…,a _i +a _i+1 +…+a _i+p - ₁ 都不是p的倍数（对i>p，定义a _i =a _i - _p ）。

5．试求最小的正整数n，使得多项式P _n (x)=(x-10) ² x ² (x+10) ² +n可以分解成两个非常数的整系数多项式的乘积。

6．设n≥4是一个整数，证明：关于x ₁ ,x ₂ ,…,x _n 的多项式 + +…+nx ₁ x ₂ …x _n 不能写成两个非常数的实系数多项式的乘积。

7．已知a ₁ ,a ₂ ,…, 都是大于1且小于等于2021的整数，证明：存在n∈{1,2,…,2 ²⁰²¹ }使得a ₁ a ₂ …a _n +1不是完全平方数。

8．对正整数n，定义f(n)为n的奇素因子（不含重数）的个数。证明：存在无穷多个正整数m，使得3|f(m ² +3m)。