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1．使用母函数证明朱世杰恒等式：设m,n,k是非负整数，m<n，则
2．求证：斐波那契数F n (F 0 =F 1 =1,F n+2 =F n+1 +F n )满足
3．试将非负整数集划分成两个子集A,B，使得对任意正整数n，将n写成A中两个不同元素之和的方法数等于将n写成B中两个不同元素之和的方法数，并证明这种划分是唯一的（不计顺序）。
4．设p,q是两个不同的素数，整数a 1 ,a 2 ,…,a p ,b 1 ,b 2 ,…,b q 满足a i +b j (1≤i≤p,1≤j≤q)构成模pq的完系。求证：a 1 ,a 2 ,…,a p 构成模p的完系。
5．设n是一个正整数，将S={1,2,…,100}中任意75个元素染成红色，并考虑所有满足100|a 1 +…+a n ，且a i ∈S的数组(a 1 ,a 2 ,…,a n )（数组中的数可以重复）。
若一个这样的数组中有偶数个数被染成红色，则称该数组为好数组；若一个这样的数组中有奇数个数被染成红色，则称该数组为坏数组。求所有n，使得不论如何染色，好数组的数量不少于坏数组的数量。
6．数列{a
n
}n≥0定义如下：a
0
=2,a
1
=
,a
n
=-
(n≥2)。正整数r,s满足r是偶数，且s<r<2s。证明：
=0。
7．设p是大于3的素数，求证：
除以p的余数等于1或者p-1，这里约定
=1。
8．数列
满足a
0
=1,a
n
=
求证：对任意素数p，正整数m,r，均有p
m
|
。