第13讲
函数方程

1．设f(x)适合等式f(x)-2f =x，则f(x)的值域是__________。

2．已知定义在 R 上的函数f(x)满足：

(1)f(x)=1;

(2)当0<x<1时，f(x)>0;

(3)对任意的实数x,y均有f(x+y)-f(x-y)=2f(1-x)f(y)。

则 =__________。

3．记a,b的代数式为f(a,b)，它满足：

(1)f(a,a)=a;

(2)f(ka,kb)=kf(a,b);

(3)f(a ₁ +a ₂ ,b ₁ +b ₂ )=f(a ₁ ,b ₁ )+f(a ₂ ,b ₂ );

(4)f(a,b)=f 。

则f(a,b)=__________。

4．已知定义在 R 上的函数f(x)，满足对任意a,b∈ R ，都有f(a+b ² )=f(a)+2f ² (b)成立，则f(2011)=__________。

5．所有满足sinx+cosy=f(x)+f(y)+g(x)-g(y),x,y∈ R 的函数g(x)=__________。

6．记f: N ₊ → N ₊ ，且对所有m,n∈ N ₊ ，有f(f(m)+f(n))=m+n，则f(2005)=__________。

7．设函数f: R → R ，满足f(0)=1，且对任意x,y∈ R ，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则f(x)=__________。

8．已知对每一个实数x和y，函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y)+xy，若f(1)=m，则满足f(n)=2014的正整数对(m,n)共有__________个。

9．求所有函数f: Q → Q （ Q 为有理数集），使得

(1)f(1)=2;

(2)对任意x,y∈ Q ,f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1。

10．是否存在函数f满足：对所有x,y∈ R , 均成立。

11．(1)确定是否存在函数f: R → R 满足：对于所有实数x，有{f(x)}sin ² x+{x}cos(f(x))cosx=f(x)和f(f(x))=f(x)，其中x表示实数x的小数部分。

(2)与问题(1)相同，但此时的函数为f:[0,1]→[0,1]。