第12讲
函数迭代

1．已知f ₁ (x)= ,f _n+1 (x)=f ₁ [f _n (x)]，则f ₂₈ (x)=__________。

2．设f(n)为一个定义域为正整数的函数，且满足

则f(16)的值为__________。

3．函数方程f ⁽³⁾ (x)= ,x≥0的一个解是__________。

4．若f(x)= ，则f ⁽ⁿ⁾ (x)=__________。

5．数列满足a ₁ =1,a _n+1 = ，则a _n =__________。

6．若f(x)=x ² +2x，则f ⁽ⁿ⁾ (x)=__________。

7．已知函数f(x)满足：f ₂ (x)= ,f _n+1 (x)=f ₁ (f _n (x))，且f ₃₅ (x)=f ₅ (x)，则f ₂₈ (x)=__________。

8．函数方程g ⁽⁵⁾ (x)=x ² +2x的一个解是__________。

9．设数列 _满足 x ₁ =1,x _n = +x _n-1 (n≥2)，求数列的通项公式。

10．f: R → R 是不减的，并且f(x+1)=f(x)+1,φ(x)=f ⁽ⁿ⁾ (x)-x。求证：对一切x,y∈ R ，恒有|φ(x)-φ(y)|<1。

11．已知函数y=f(x),f _n (x)表示函数f(x)的n次迭代函数，f _n (x)=f[f _n-1 (x)],f ₁ (x)=f(x)。

(1)若f(x)=1- ，求f ₂ (x),f ₃ (x),f ₄ (x),f ₂₀₁₈ (x)。

(2)若存在正整数k，使得对于任意的正整数n，均有f _n+k (x)=f _n (x)成立，则称函数f(x)是k次迭代周期函数，正整数k为函数f(x)的迭代周期。

①若g(x)= ，求g(x)的迭代周期。

②若t(x)=ln(e ^x +1)，判别t(x)是否为迭代周期函数。若是，求出迭代周期；若不是，请说明理由。