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1．当a
3
-a-1=0时，a+
是某个整系数多项式的根，求满足上述条件的次数最低的首一多项式。
2．是否存在两个二次三项式ax 2 +bx+c和(a+1)x 2 +(b+1)x+(c+1)，每一个式子都有整数系数和两个整数根。
3．设P(x)=a k x k +a k-1 x k -1 +…+a 1 x+a 0 ，式中各系数a i (i=0,1,…,k)都是整数，今设有4个不同的整数x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 使P(x i )(i=1,2,3,4)都等于2，证明：对于任何整数x,P(x)不等于1,3,5,7,9中的任何一个。
4．以
和1-
为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？
5．给定整数a 1 ,a 2 ,…,a n ，其中a n ≠0。求证：必有素数p，使多项式f(x)=±p+a 1 x+a 2 x 2 +…+a n x n 不能分解为不是常数的整系数多项式之积，其中a n ≠0。
6．设p为素数，a为有理数，且f(x)=x p -a可分解为两个次数不小于1的有理系数多项式之积。求证：f(x)=0必有有理根。
7．设S={a 3 +b 3 +c 3 -3abc|a,b,c∈ Z }，求证：如果x,y∈S，那么xy∈S。
8．复平面上的正方形的4个顶点对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程x 4 +px 3 +qx 2 +rx+s=0的4个根，求这种正方形面积的最小值。
9．求证：对所有的n,
+
是无理数。
10．设f(x)=x n +5x n - 1 +3，其中n是一个大于1的整数。求证：f(x)在 Z [x]上是不可约的。
11．求满足下列条件的所有二次整系数首一多项式P(x)：存在整系数多项式Q(x)，使得多项式P(x)Q(x)的所有系数是1或者-1。