第10讲
多项式的整除

1．已知a∈ Z ，且x ⁶ -33x+20能被x ² -x+a整除，求a的值。

2．设多项式f(x),g(x),h(x),k(x)满足

求证：(x ² +1)f(x),(x ² +1)g(x)。

3．对怎样的n ∈ N ，有

(1)x ² +x+1|(x+1) ⁿ -x ⁿ -1?

(2)x ² +x+1|(x+1) ⁿ +x ⁿ +1?

4．若多项式x ² k+1+(x+1) ² ^k 不能被x ² +x+1整除，求k。

5．求证：m|n⇔x ^m -a ^m |x ⁿ -a ⁿ ，其中a,m,x,n ∈ N ₊ 。

6．设f(x)是1991次整系数多项式，令g(x)=f ² (x)-9。求证：g(x)不同的整数根不能超过1991个。

7．求所有次数不超过5的实系数多项式P(x)，使得P(x)+1能被(x-1) ³ 整除且P(x)-1能被(x+1) ³ 整除。

8．设f(x)= ,k∈ N ,i除以k所得的余数为r _i (i=0,1,…,n)。求证：f(x)除以x ^k -a所得的余式为r(x)= 。

9．试求出所有的整系数多项式P(x)，使得对任意的正整数n都有P(n!)=|P(n)|!。

10．给定多项式P(x,y,z)，证明：多项式Q(x,y,z)=P(x,y,z)+P(y,z,x)+P(z,x,y)-P(x,z,y)-P(y,x,z)-P(z,y,x)能被(x-y)(y-z)(z-x)整除。

11．设P(z)是1992次复系数多项式，它的根各不相同，证明：存在复数a ₁ ,a ₂ ,…,a ₁₉₉₂ ，使得P(z)能整除多项式{…[(z-a ₁ ) ² -a ₂ ] ² -…-a ₁₉₉₁ } ² -a ₁₉₉₂ 。