第9讲
多项式的根

1．求证：多项式x ⁶ -x ⁵ +x ⁴ -x ³ +x ² -x+ 没有实根。

2．设a,b,c∈ R 使得方程x ³ +ax ² +bx+c=0有3个实根。证明：若-2≤a+b+c≤0，则至少存在一个根在区间[0,2]中。

3．设非负实数a,b,c满足a+b+c=1，求证：9abc≤ab+bc+ca≤ (1+9abc)。

4．已知 + + + + + = 对k=1,2,3,4,5,6均成立，求a+b+c+d+e+f的值。

5．设n次多项式f(k)= (k=0,1,…,n)，求f(n+1)。

6．求最大的实数λ，使得当实系数多项式f(x)=x ³ +ax ² +bx+c的所有根都是非负实数时，只要x ≥0，就有f(x)≥λ(x-a) ³ ，并求式中等号何时成立。

7．求所有的实系数多项式对(P(x),Q(x))，使得对无穷多个x ∈ R ，有

8．n×n矩阵中，第i行第j列的元素等于a _i +b _j ，这里a ₁ ,a ₂ ,…,a _n ,b ₁ ,b ₂ ,…,b _n 都是给定的实数；矩阵每一行数的乘积都是相等的。证明：每一列数的乘积都是相等的。

9．设ε _k =cos +isin (k=0,1,2,…,n-1)，求值：ε _k · ε _k -ε _j 。

10．设多项式P(x)=x ⁿ +a ₁ x ^n- ¹ +…+a _n-1 x+a _n 有复根x ₁ ,x ₂ ,…,x _n ,α= ,β ² = ，且β ² <1+|α| ² 。若复数x ₀ 满足|α-x ₀ 2<1-β ² +|α| ² ，求证：|P x ₀ |<1。

11．设ζ≠1是复数，ζ ²³ =1。计算：。