第8讲
多项式的运算

1．设f(x),g(x)都是复系数多项式，且f ² (x)=xg ² (x)。求证：f(x)=g(x)=0。

2．设P(x)=x ⁴ +ax ³ +bx ² +cx+d,a,b,c,d为常数，P(1)=1993,P(2)=3986,P(3)=5979，试计算 [P(11)+P(-7)]。

3．求所有满足P(x ² )≡(P(x)) ² ,x ∈ R 的非零多项式P(x)。

4．求所有满足P(x ² -2x)≡(P(x-2)) ² ,x ∈ R 的非零多项式P(x)。

5．设整系数多项式P(x)满足P(19)=P(94)=1994，求P(x)的常数项（已知它的绝对值小于1000）。

6．设f(x)=a ₅ x ⁵ +a ₄ x ⁴ +a ₃ x ³ +a ₂ x ² +a ₁ x+a ₀ ,g(x)=b ₃ x ³ +b ₂ x ² +b ₁ x+b ₀ ,h(x)=c ₂ x ² +c ₁ x+c ₀ 都是整系数多项式，且|a _i ≤4,|b _i ≤1,|c _i ≤1（对一切i）,f(10)=g(10)h(10)。求证：f(x)=g(x)h(x)。

7．是否存在这样的实系数多项式p(x)，使得p(x)具有负系数，而对于n>1,p ⁿ (x)的系数全是正的？

8．设实系数多项式函数P(x)=ax ³ +bx ² +cx+d，求证：如果对任何|x|≤1，均有|P(x)|≤1，则|a|+|b|+|c|+|d|≤7。

9．是否存在实系数多项式p(x)和q(x)，使得对每个正整数n，都有

10．设P(x)是实系数多项式，使得对所有整数n,k ≥0, 是整数。

证明：P(0)=0。

11．试证：任何实系数多项式均可以表示成两个单调递增的多项式之差。 GfAGA7p5q/WqW0y1o7ypWqROFrk3jfwTYJxUW9kwIoVn6PrRy3VrAwaKUYff7ZJD