第6讲
不定方程

1．求方程x ² +xy+y ² =49的全部正整数解。

2．一个直角三角形的三边长都是整数，且任意两个整数都互素。若三角形的面积与周长的比值是一个完全平方数，求满足条件的三角形中面积最小的三角形的三边长。

3．试判断方程x ² +y ³ =z ⁴ 是否有x,y,z均为素数的解。

4．求所有正整数对(m,n)，使得2 ^m +3 ⁿ 是一个完全平方数。

5．设整数x,y都大于1，求方程x ^y =2 ^z -1的全部正整数解(x,y,z)。

6．求出所有满足方程5(xy+yz+zx)=4xyz的正整数解(x,y,z)。

7．求方程x ⁶ +3x ³ +1=y ⁴ 的整数解。

8．求所有的三元整数组(x,y,z)，使得：x ³ +y ³ +z ³ -3xyz=2003。

9．求证：对任意n ∈ Z ，方程x ² +y ² -z ² =n有无穷多组正整数解。

10．求方程5 ^x 7 ^y +4=3 ^z 的非负整数解。

11．对于n ∈ N ，且n ≥2，求证：方程x ² +y ² =z ⁿ 一定有正整数解。

12．设不定方程ax ² +bxy+cy ² =k的判别式D=b ² -4ac是正的非平方数，k≠0，求证：该方程若有整数解，则必有无穷多个整数解。

第7讲
二次剩余

1．求出所有的素数p，使得2p ⁴ -p ² +16是一个完全平方数。

2．求出一个完全平方数的各位数字之和的所有可能的值。

3．求以11为其二次剩余的所有奇素数p。

4．求证：3 ⁿ +1（n为奇数）无3k+2型的奇素因子。

5．求所有的素数p，使得为完全平方数。

6．设奇数m,n均大于1。求证：(2 ^m -1)⫮(3 ⁿ -1)。

7．每个模4余1的素数均可写为两个平方数之和。

8．设素数p >2，求证：最小的正的模p二次非剩余小于

9．求证：(1)x ⁴ +1的奇素因子都有p ≡1(mod8);

(2)有无穷多个素数p ≡1(mod8)。

10．求所有的正整数对(m,n)，使得m ⁶ =n ⁿ⁺ ¹ +n-1。