第5讲
等腰三角形和等边三角形

一、填空题(每题5分，共50分)

1.在等边三角形所在平面内找一点P,使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，这样的点P的个数有___.

2.如图 5-1 所示，在等边△ABC中，中线AD、BE交于F,则图中等腰三角形共有___个.

3.如图5-2所示，若点C是线段AB上的一点,△ACD和△BCE都是同侧的等边三角形,AE交CD于M,BD交CE于N,交AE于O.下列结论:①DB =AE;②∠AMC =∠DNC;③∠AOB =120°;④DN =AM;⑤△CMN是等边三角形;⑥OC是∠MON的平分线。其中正确的个数为___.

4.如图5-3所示,△ADB、△BCD都是等边三角形，点E、F分别是AB、AD上的两个动点，满足AE =DF.连接BF、DE,BF与DE相交于点G,CH ⊥BF,垂足为H,连接CG.若DG=a,BG =b,且a,b满足下列关系:a ² +b ² =5,ab=2,则GH =___.

5.如图5-4所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF,分别连接CE、CF和EF,下列结论:①△CDF ≌ △EBC;②△CEF是等边三角形;③∠CDF= ∠EAF;④EF ⊥CD.其中一定成立的是___.

6.直线y=x+3与坐标轴交于A,B两点，点C在坐标轴上,△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有___个.

7.在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD ⊥BC于点D,点P是BA延长线上一点,O是线段AD上一点,OP=OC,给出下面的结论:①∠APO+∠DCO=30°;②△OPC是等边三角形;③AC =AO + AP;④△ABC的面积等于四边形AOCP的面积。其中正确的有___.

8.如图5-5所示，若点D为等边△ABC内一点，且DA =4,DB =3,DC =5,则此等边△ABC的面积为___.

9.如图5-6所示，已知∠XOY=60°,点A在边OX上,OA=2.过点A作AC ⊥OY于点C,以AC为一边在∠XOY内作等边△ABC,点P是△ABC围成的区域(包括各边）内的一点，过点P作PD ∥OY交OX于点D,作PE ∥OX交OY于点E.设OD=a,OE=b,则a+2b的取值范围是___.

10.边长为a的等边三角形，记为第一个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形,……,按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为___.

二、解答题(每题10分，共50分)

11.如图5-7所示，在△ABC中,AC=BC,∠ACB=100°,点D在线段AB上运动(D不与A、B重合），连接CD,作∠CDE=40°,DE交BC于点E.若△CDE是等腰三角形，求∠ADC的度数.

12.已知，如图5-8所示，在△ABC中,∠A =90°,D是AC上一点，且∠ADB=2∠C,P是BC上任一点,PE ⊥BD于E,PF ⊥AC于F,求证:PE ² +AF ² =BP ² .

13.如图5-9 所示，在四边形ABCD中,AC和BD是对角线.△ABC是等边三角形,∠ADC =30°,AD =4,BD =6,求CD的长度.

14.在菱形ABCD中,∠BAD =60°.

(1)如图5-10(a)所示，点E为线段AB的中点，连接DE、CE.若AB=4,求线段EC的长.

(2)如图5-10(b)所示,M为线段AC上一点(不与A、C重合），以AM为边向上构造等边△AMN,线段MN与AD交于点G,连接NC、DM,Q为线段NC的中点，连接DQ、MQ,判断DM与DQ的数量关系，并证明你的结论.

(3)在(2)的条件下，若AC = ,请你直接写出DM +CN的最小值.

15.如图5-11所示,△ABC是等边三角形，点A(-3,0),点B(3,0),点D是y轴上的一个动点，连接BD,将线段BD绕点B逆时针旋转60°,得到线段BE,连接DE,得到△BDE,求OE的最小值.