1.如图4-1所示,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD ⊥BC于点D,∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点,M为EF的中点,AM的延长线交BC于点N,连接DM.有以下结论:①△AFE为等腰三角形;②△BDF ≌ △ADN;③NF垂直平分AB;④DM平分∠BMN;⑤AE =EN =NC.其中正确结论的个数是___.
2.如图4-2所示,点A为∠MON的角平分线上一点,过A任作一直线分别与∠MON的两边交于B、C,P为BC的中点,过P作BC的垂线交OA于点D,若∠MON =130°,则∠BDC =___.
图4-1
图4-2
3.如图4-3所示,在Rt△ABC的纸片中,∠C=90°,AC=5,AB=13.点D在边BC上,以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB',AB'与边BC交于点E.若△DEB'为直角三角形,则BD的长是___.
4.如图4-4所示,把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ(0°<θ <90°)得到另一条数轴y,x轴和y轴构成一个平面斜坐标系。规定:过点P作y轴的平行线,交x轴于点A,过点P作x轴的平行线,交y轴于点B,若点A在x轴上对应的实数为a,点B在y轴上对应的实数为b,则称有序实数对(a,b)为点P的斜坐标。在某平面斜坐标系中,已知θ=60°,点M的斜坐标为(2,3),点N与点M关于y轴对称,则点N的斜坐标为___.(温馨提示:直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半)
图4-3
图4-4
5.如图4-5所示,已知在平面直角坐标系中,点A的坐标是(0,2),点B是x轴正半轴上的一点,点P是第一象限内一动点。若点A与点A'关于x轴对称,且BM ⊥PA',若动点P满足∠APA'=2∠OBA',则
=___.
6.如图4-6所示,BD平分∠ABC,S △ABC =8,AB=4,E为BC上一动点,在BD上找一点F,使EF +FC的值最小,则这个最小值为___.
图4-5
图4-6
7.如图4-7所示,∠AOB =30°,M、N分别是OA、OB上的定点,P、Q分别是边OB、OA上的动点,若记∠AMP =α,∠ONQ =β,当MP +PQ +QN最小时,则α与β的数量关系是___.
8.若等腰三角形的周长为30cm,一边长为6cm,则腰长为___.
9.如图4-8所示,在平行四边形ABCD中,∠A=60°,点E、F分别在边AD、DC上,DE=DF,且∠EBF =60°,若AE =2,FC =3,则EF的长度为___.
图4-7
图4-8
10.腰长为4的等腰Rt△ABC放在如图4-9所示的平面直角坐标系中,点A、C均在y轴上,C(0,2),∠ACB=90°,AC=BC=4,平行于y轴的直线x=-2交线段AB于点D,点P是直线x=-2上一动点,且在点D的上方。当S △ABP =4时,以PB为一边作等腰Rt△BPM,则所有符合条件的点M的坐标是___.
图4-9
11.如图4-10所示,在平行四边形ABCD中,AD =16,点E在边AD上,点F在BC的延长线上,且满足BF =BE =18,过点C作CE的垂线交BE于点G.若CE恰好平分∠BEF,求BG的长.
图4-10
12.如图4-11所示,在正方形ABCD中,边长为4.以AD为斜边向上作等腰Rt△AFD,点G是FD的中点,连接AG.作点G关于AD的对称点E,连接DE、CE,并延长CE交AG于点H .求CH的长.
图4-11
13.如图4-12所示,已知在矩形ABCD中,AD >AB,O为对角线的交点,过O作一直线分别交BC、AD于M、N.
(1) 求证:S 梯形ABMN =S 梯形CDNM .
(2)当M、N满足什么条件时,将矩形ABCD以MN为折痕翻折后能使点C恰好与点A重合(只写出满足的条件,不要求证明).
(3)在(2)的条件下,若翻折后不重叠部分的面积是重叠部分面积的
,求
的值.
图4-12
14.如图4-13所示,鹏城大学建立分校,校本部与分校隔着两条平行的小河,l 1 ∥l 2 表示小河甲,l 3 ∥l 4 表示小河乙,A为校本部大门,B为分校大门。为方便人员来往,要在两条小河上各建一座桥,桥面垂直于河岸。图中的尺寸是:甲河宽8m,乙河宽10m,A到甲河垂直距离为40m,B到乙河垂直距离为20m,两河距离100m,A、B两点水平距离(与小河平行方向)120m,为使A、B两点间来往路程最短,两座桥都按这个目标而建,那么,此时A、B两点间来往的路程是多少?
图4-13
15.如图4-14所示,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含点B)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM .
(1)求证:△AMB ≌ △ENB.
(2)①当点M在何处时,AM +CM的值最小;
②当点M在何处时,AM +BM +CM的值最小,并说明理由.
(3)当AM +BM +CM的最小值为
+1时,求正方形的边长.
图4-14