第4讲
轴对称

一、填空题(每题5分，共50分)

1.如图4-1所示，等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD ⊥BC于点D,∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点,M为EF的中点,AM的延长线交BC于点N,连接DM.有以下结论:①△AFE为等腰三角形;②△BDF ≌ △ADN;③NF垂直平分AB;④DM平分∠BMN;⑤AE =EN =NC.其中正确结论的个数是___.

2.如图4-2所示，点A为∠MON的角平分线上一点，过A任作一直线分别与∠MON的两边交于B、C,P为BC的中点，过P作BC的垂线交OA于点D,若∠MON =130°,则∠BDC =___.

3.如图4-3所示，在Rt△ABC的纸片中,∠C=90°,AC=5,AB=13.点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB',AB'与边BC交于点E.若△DEB'为直角三角形，则BD的长是___.

4.如图4-4所示，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ(0°<θ <90°)得到另一条数轴y,x轴和y轴构成一个平面斜坐标系。规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A,过点P作x轴的平行线，交y轴于点B,若点A在x轴上对应的实数为a,点B在y轴上对应的实数为b,则称有序实数对(a,b)为点P的斜坐标。在某平面斜坐标系中，已知θ=60°,点M的斜坐标为(2,3),点N与点M关于y轴对称，则点N的斜坐标为___.(温馨提示：直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半)

5.如图4-5所示，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,2),点B是x轴正半轴上的一点，点P是第一象限内一动点。若点A与点A'关于x轴对称，且BM ⊥PA',若动点P满足∠APA'=2∠OBA',则 =___.

6.如图4-6所示,BD平分∠ABC,S _△ABC =8,AB=4,E为BC上一动点，在BD上找一点F,使EF +FC的值最小，则这个最小值为___.

7.如图4-7所示,∠AOB =30°,M、N分别是OA、OB上的定点,P、Q分别是边OB、OA上的动点，若记∠AMP =α,∠ONQ =β,当MP +PQ +QN最小时，则α与β的数量关系是___.

8.若等腰三角形的周长为30cm,一边长为6cm,则腰长为___.

9.如图4-8所示，在平行四边形ABCD中,∠A=60°,点E、F分别在边AD、DC上,DE=DF,且∠EBF =60°,若AE =2,FC =3,则EF的长度为___.

10.腰长为4的等腰Rt△ABC放在如图4-9所示的平面直角坐标系中，点A、C均在y轴上,C(0,2),∠ACB=90°,AC=BC=4,平行于y轴的直线x=-2交线段AB于点D,点P是直线x=-2上一动点，且在点D的上方。当S _△ABP =4时，以PB为一边作等腰Rt△BPM,则所有符合条件的点M的坐标是___.

二、解答题(每题10分，共50分)

11.如图4-10所示，在平行四边形ABCD中,AD =16,点E在边AD上，点F在BC的延长线上，且满足BF =BE =18,过点C作CE的垂线交BE于点G.若CE恰好平分∠BEF,求BG的长.

12.如图4-11所示，在正方形ABCD中，边长为4.以AD为斜边向上作等腰Rt△AFD,点G是FD的中点，连接AG.作点G关于AD的对称点E,连接DE、CE,并延长CE交AG于点H .求CH的长.

13.如图4-12所示，已知在矩形ABCD中,AD >AB,O为对角线的交点，过O作一直线分别交BC、AD于M、N.

(1) 求证:S _梯形ABMN =S _{梯形CDNM .}

(2)当M、N满足什么条件时，将矩形ABCD以MN为折痕翻折后能使点C恰好与点A重合(只写出满足的条件，不要求证明).

(3)在(2)的条件下，若翻折后不重叠部分的面积是重叠部分面积的 ,求 的值.

14.如图4-13所示，鹏城大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河,l ₁ ∥l ₂ 表示小河甲,l ₃ ∥l ₄ 表示小河乙,A为校本部大门,B为分校大门。为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸。图中的尺寸是：甲河宽8m,乙河宽10m,A到甲河垂直距离为40m,B到乙河垂直距离为20m,两河距离100m,A、B两点水平距离(与小河平行方向)120m,为使A、B两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，此时A、B两点间来往的路程是多少?

15.如图4-14所示，四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含点B)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM .

(1)求证:△AMB ≌ △ENB.

(2)①当点M在何处时,AM +CM的值最小;

②当点M在何处时,AM +BM +CM的值最小，并说明理由.

(3)当AM +BM +CM的最小值为 +1时，求正方形的边长.