第3讲
全等三角形

一、填空题(每题5分，共50分)

1.下列说法:①三边对应相等的两个三角形全等;②两角、一边相等的两个三角形全等;③三角对应相等的两个三角形全等;④两边、一角对应相等的两个三角形全等。其中正确的为___.

2.有下列四种说法:①两个三角形全等，则它们成轴对称;②等腰三角形的对称轴是底边上的中线;③若点A、B关于直线MN对称，则AB垂直平分MN;④到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。其中错误的说法有___个.

3.如图3-1所示，在Rt△ABC中,AB=CB,BO ⊥AC,把△ABC 折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F,连接DE、EF,有以下结论:①AB=2BD;②图中有4对全等三角形;③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上;④BD =BF.其中正确的是___.

4.在△ABC中,∠ABC=30°,AB边长为10,AC边的长度可以在3、5、7、9、11中取值，那么满足这些条件的互不全等的三角形有___个.

5.如图3-2所示，点C在线段AB上,DA ⊥AB,EB ⊥AB,FC ⊥AB,且DA=BC,EB=AC,FC =AB,∠AFB =51°,则∠DFE =___.

6.如图3-3所示,△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线相交于点E,BE交AC于点F,过点E作EG ∥BD交AB于点G,交AC于点H,连接AE,有以下结论:

①∠BEC = ∠BAC;②△HEF ≌ △CBF;③BG =CH +GH;④∠AEB + ∠ACE =90°.其中正确的结论有___.

7.在平面直角坐标系xOy中，点A(2,0),B(0,2),若点C在第一象限内,CO =CB,且△AOC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为___.

8.在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(8,0),△AOP为等腰三角形且面积为16,则满足条件的点P有___.

9.如图3-4所示，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上,AE、AF分别交BD于点M、N,连接CN、EN,且CN =EN.有以下结论:①AN =EN,AN ⊥EN;②BE +DF =EF;③∠DFE =2∠AMN;④MN ² =BM ² +DN ² .其中正确结论个数是___.

10.如图3-5所示，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上,EG与BF交于点P,AE =2,BF =EG,DG >AE,则DP的最小值为___.

二、解答题(每题10分，共50分)

11.将两个全等的直角三角形的直角边对齐拼成平行四边形，若这两个直角三角形直角边的长分别是1cm,2cm,求拼成的平行四边形较长的对角线长.

12.(1)问题：如图3-6(a)所示，在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,则线段BC、DC、EC之间满足的等量关系式为______.

(2)探索：如图 3-6(b)所示，在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB =AC,AD =AE,将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD,BD、CD之间满足的等量关系，并证明你的结论.

(3)应用：如图3-6(c)所示，在四边形ABCD中,∠ABC = ∠ACB = ∠ADC =45°.若BD =9,CD =3,求AD的长.

13.如图3-7所示，在Rt△ABC中,∠C=90°,AC =10,BC=4,射线AX ⊥CA,点P从点C出发沿着射线CA方向运动，点Q在射线AX上，并且保持PQ=AB,若点P的速度为每秒2个单位长度，运动时间为t,当t为多少时，才能使△ABC与△PQA全等.

14.如图3-8所示，在△ABC中,∠BAC=60°,D是AB上一点,AC=BD,P是CD中点。求证:AP = BC.

15.如图3-9所示，在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=15cm,点M从A点出发沿A →C →B路径向终点运动，终点为B点，点N从B点出发沿B →C →A路径向终点运动，终点为A点，点M和N分别以2cm/s和3cm/s的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动。分别过M和N作ME ⊥l于E,NF ⊥l于F.设运动时间为ts,要使以点M、E、C为顶点的三角形与以点N、F、C为顶点的三角形全等，求t.